teoreticheskaya_mehanika_1989

Рис. K1.0

Рис. K l.l

Рис. K1.2

Рис. К1.6

Рис. К1.7

Рис. К1.8

А, измеренное вдоль дуги окружности.

Определить скорость и ускорение точки в

момент времени t\ =

1 с. Изобразить на

рисунке векторы и и а, считая, что точка в

этот момент находится в положении М, а

положительное направление отсчета s — от

А к М.

Указания. Задача К1 относится к кине­

матике точки и решается с помощью

формул, по которым определяются скорость

и ускорение точки в

декартовых координатах

(координатный способ

щения)

следует

учесть

известные

из

тригонометрии формулы:

cos2a =

1 — 2 sin2a =

2 cos2 a — 1; sin 2a =

2 sinacosa.

Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

х = - 2 c o s ( - ^ - < ) + 3 , {/ = 2 s i n ( - | - < ) - l

(х, у — в сантиметрах,

t — в секундах).

Определить

уравнение

траектории точки; для момента времени

(i = 1 с

найти скорость и

ускорение

точки, а также ее касательное и

cos2а =

1 — 2 sin2u

или cos^-^-<^ =

1 — 2sin2^ - ^ - /^

.

( 1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих

функций и подставляем в равенство

(1). Получим

/ л Л

3 —х

. / л д

у + 1

’

C 0S ( —

V

2-=

’-

8S—m)(

_=

2

следовательно,

3 - *

,

. ( у + 1 ) г

2

4

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории

точки (параболы,

рис. К 1а):

* =

(«/+

1)2 +

* •

(2)

2.

Скорость точки

найдем по

ее

проекциям на координатные оси:

dx

л .

/

л

\

v‘ = ~аГ = т Ч

т

) ’

dу

л

/

я

Д

т

У

V* = ~ W =

—

'Ч

V

=

V

v i +

v l

и При t\

= 1 с

Vu =

1,11

см/с,

V\y — 0,73 см/с,

Рис. К1а

и, =

1,33 см /с .

(3)

аи = 0,87 см/с2, aij, = —0,12 см/с2, ai = 0,88 см/с2 .

(4)

венство v2 =

у2 +

Получим

откуда

vxax + Vydy

(5)

v

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выра­

жения

(5),

определены и даются

равенствами

(3)

и (4). Подставив

в

(5) эти числа, найдем сразу, что при t\ — 1 с ai, — 0,66 см/с2.

5.

Нормальное

ускорение точки

а„ =

-\/а2— а?. Подставляя

сюда

найденные

числовые значения

щ

и

aiT,

получим,

что

при tt = 1 с

аы = 0,58 см/с2.

6. Радиус кривизны траектории р = u2/a„. Подставляя сюда число­

вые значения У| и а\„, найдем, что при ti =

1 с pi =

3,05 см.

О т в е т :

ui =

1,33 см/с, щ =

0,88 см /с2,

аи = 0,66

см/с2,

ои =

=

0,58

см/с2, pi =

3,05 см.

Пример

К1б. Точка движется

по дуге окружности

радиуса

R =

=

2

м

по закону s = 2 sin ^ -^ -/^

(s — в

метрах, t

— в секундах), где

s =

AM (рис. К1б). Определить

скорость

и ускорение точки в момент

времени U — 1

с.

Решение. Определяем скорость точки:

dt

~

2 — V 4 7

‘

_«r

При

t\

=

1

с

получим Vi = л-\/2 /4 =

=

1,11

м/с.

Ускорение находим по его касатель­

ной и нормальной составляющим:

ственно: у колеса /

г\ =

2 см,

R t = 4

см,

у

колеса 2

г2 = 6 см,

/?2 = 8

см,

у

колеса

3 — гз =

12 см,

/?з =

16

см.

На

ободьях

колес расположены точки Л, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изме­

нения скорости ведущего звена механизма, где <pi(<) — закон

вращения

колеса

1, s4(t) — закон

движения

рейки

4,

м2(<) — закон

изменения

угловой

скорости колеса 2,

а5(() — закон

изменения

скорости груза 5

и т. д.

(везде

<р

выражено

в радианах, s :— в

сантиметрах,

t — в се­

стрелки, для S4, ss

и vt, 05 — вниз.

Определить

в

момент

времени

11 — 2 с

указанные

в

таблице

в столбцах «Найти» скорости (и — линейные, со — угловые)

и ускорения

(о — линейные,

е

— угловые) соответствующих точек

или

тел

( уз —

скорость груза 5 и т. д.).

Указания. Задача

К2 — на исследование вращательного движения

Т а б л и ц а К2

Найти

скорости

ускорения

$4 =

4(71 -

г2)

VB,

V c

82,

0/1,

05

v5 = 2 ( / — 3)

V A , V c

83, a s,

04

Ф 1 =

2 / 2 — 9

V i ,

0)2

82,

o c ,

05

сог= I t — 3t2

V s t

0)3

82,

0/1,

04

фЗ =

3t=7T t2—

U4,

0)1

8 1,

О д,

05

o n =

5 1 — 2 12

&S,

V B

82,

ас,

04

ф г =

2 (< 2 —

З А

У4,

0)1

8 1,

ас.

05

Vi =

3/2 — 8

v A,

0)3

83,

О д,

05

ss =

2t2- 5 t

V A ,

0)2

8 1 ,

О с,

О*

Ю3 =

81— 3/2

VSf

v B

82,

О л,

а 4

твердого тела

вокруг неподвижном

оси. При решении задачи учесть, что,

когда два

колеса находятся в за ­

цеплении,

скорость

точки

зацепле­

ния каждого колеса

одна и та

же,

а когда два колеса связаны ремен­

ной передачей, то скорости всех то­

чек ремня и, следовательно, точек,

лежащих на ободе каждого из этих

колес, в данный момент времени

численно одинаковы; при этом счи­

тается, что ремень по ободу колеса

Рис. К2

не скользит.

Пример К2. Рейка /, ступенча­

тое колесо 2 с радиусами

/?2 и г2 и колесо 3

радиуса /?з, скрепленное

с валом радиуса гз,

находятся

в зацеплении; на

вал

намотана

нить

с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону $i =

f(t).

Д а н о : /?2 = 6

см,

г2 = 4

см, /?3 = 8

см,

л3 =

3

см,

si =

З/3

(s — в сантиметрах,

/ — в

секундах), А — точка обода

колеса

3, t\ =

них ободах колес (радиуса

Ri), через у ,-,

а точек, лежащих на

внутрен­

них ободах (радиуса /-,), — через

и,.

1.

Определяем

сначала

угловые скорости всех колес как функ

ции времени /. Зная закон движения рейки /, находим ее скорость:

У| =

$| =

Э/2 .

( 1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то и2 =

v\ или

(о2/?2 =

vi. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следователь­

но, и2 = Vi или ь>2г2 = юзЯзИз этих равенств находим

V\

3

,2

Г2

——t .

" Ж =

■Ж .(02 =

й>2 ;

~7rt

, 0)з =

( 2 )

Тогда для момента времени t\ =

3 с получим о>з =

6,75 с-1.

2.

Определяем

у4. Так

как

v4 =

vB = а>зГз,

то

при

11=

3 су<=

= 20,25 см/с.

получим гз —

3. Определяем е3. Учитывая второе из равенств

(2),

— <оз =

1,5/. Тогда при ti =

3 с

е3 =

4,5 с-2 .

4. Определяем ал. Для точки

А

ал = ал, +

ал„,

где численно

ад, = /?зе3, аАп = /?зо>з. Тогда для

момента времени /] = 3 с имеем

ал, =

36

см/с2,

аЛп =

364,5 см/с2 ;

ал =

VoIT+ алГ =

366,3 см /с2 .

скоростей показаны на рис. К2.

О т в е т :

ш3 =

6,75

с-1 ; у4 = 20,25

см/с;

е3 = 4,5

с~2;

аА =

= 366,3 см/с2.

Задача КЗ

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е

(рис. КЗ.О — К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е

(рис. К3.8,

К3.9), соединенных друг

с другом и с неподвижными

опорами 0 |, 0 2

шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стерж­

ней равны соответственно

1\ — 0,4 м, /2 =

1,2 м, 13 =

1,4

м,

U =

0,6 м.

Положение механизма определяется углами а, (5, у,

<р,

0.

Значения

этих углов и других заданных величин

указаны

в

табл.

КЗа

(для

рис. 0—4) или в табл. КЗб

(для рис. 5—9);

при этом

в

табл. КЗа

oil и 0)4 — величины

постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении

чертежа механизма

должны

откладываться

соответствующие

углы:

по ходу или против хода

часовой стрелки

(например, угол у

на рис. 8

следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на

рис.

9 —

против хода часовой стрелки

и т .д .).

Построение

чертежа

начинать со стержня, направление которого

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направ­

ленными против часовой стрелки, а заданные скорость

vB и ускорение

ав — от точки

В к Ь (на

рис. 5—9).

Т а б л и ц а

КЗа

(к рис. КЗ.О — К3.4)

к

Углы, град

Дано

Найти

о. к

s

g

(01,

V

о)

а

е

0

^

~

о

а

Р

V

<Р

0

1/с

Г/с

точек

звена точки звена

1

> ,

Г)

0

60

30

0

120

6

В, Е

DE

В

АВ

1

90

120

150

0

30

—

4

А, Ё

А В

А

АВ

2

30

60

30

0

120

5

В, Е

АВ

В

АВ

3

60

150

150

90

30

..—

5

А, Е

DE

А

АВ

4

30

30

60

0

150

4

6

D, Е

АВ

В

АВ

5

90

120

120

90

60

—

А, Е

АВ

А

АВ

6

90

150

120

90

30

3

2

В, Е

DE

В

АВ

7

0

60

60

0

120

—

А, Е

DE

А

АВ

8

60

150

120

90

30

2

D, Е

АВ

В

АВ

9

^ 30

120

150

0

60

—

8

А, Е

DE

А

АВ

0

120

30

30

90

150

2

4

_

_

В, £

АВ

В

АВ

1

0

60

90

0

120

—

—

4

6

А, Е

DE

А

АВ

2

60-

150

30

90

30

3

5

—

—

В, Е

АВ

В

АВ

3

0

150

30

0

60

—

—

6

8

А, Е

АВ

А

АВ

4

30

120

120

0

60

4

6

—

—

В, Е

DE

В

АВ

5

90

120

90

90

60

—

—

8

10

D, Е

DE

А

АВ

6

0

150

90

0

120

5

8

—

—

В, Е

DE

В

АВ

7

30

120

30

0

60

—

—

2

5

А, Е

АВ

А

АВ

8

90

120

120

90

150

6

10

—

—

В, Е

DE

В

АВ

9

60

60

6£

90

30

5

4

D, Е

АВ

А

АВ

Рис. К.3.6

Рис. КЗ.7