teoreticheskaya_mehanika_1989

силу

упругости F пружины (предполагая, что пружина

растянута)

и пару с моментом М.

F найдем с помощью уравнения

Неизвестную силу

( 1), а зная

F и учитывая, что F =

сХ, определим X.

2.

Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возмож

звеньев,

к которым приложены

активные силы: 6<pi — поворот

стерж­

ня 1 вокруг оси О, 6s D и 6s 5 — перемещения ползунов

(точек)

D и В.

Из

перемещений 6<pi, 6s D,

6s B независимое от

других — одно

звеньев

механизма

при

его

движении

и воспользуемся

известнытап-

из кинематики соотношениями

(ход расчетов

такой

же, как

в примере

КЗ).

Сначала найдем и изобразим 6sa (направление

6 s A определяется

направлением 6ф1);

получим

6s л =

/1691 ; 5s A -L ОА .

(2)

Теперь

определим

и

изобразим

6s о,

учитывая,

что

проекции

6s о и 6s а на

прямую AD должны быть

равны друг другу (иметь оди­

наковые

модули и знаки). Тогда

6sccos30° = 6s^cos30° и

6 sd =

6s л = Лбф] .

(3)

Чтобы определить 6ss, найдем сначала

6s £. Для

этого построим

мгновенный центр вращения

(скоростей)

Сз стержня 2

(на пересечении

перпендикуляров к 6$л и 6s д, восставленных из точек А и D)

и покажем

направление

поворота стержня 2 вокруг

Сг, учтя

направление

6$л или

6s д. Так

как Z.C2AD =

/LCiDA — 60°,

то A A C 2 D — равносторонний

и С^Е в нем высота, поскольку АЕ = ED.

Тогда

перемещение 6s е,

перпендикулярное С2£, будет направлено по прямой ЕА

(при изображе­

нии 6se учитываем направление поворота вокруг центра Сг).

Воспользовавшись опять тем, что проекции

6s £ и

6sл на

прямую

ЕА должны быть равны друг другу, получим

(значение

6s е

можно

найти и составив соответствующую пропорцию)

6s E=

6s^cos30° =

Лбф] cos30° .

(4)

Наконец, из условия равенства проекций

6ss

и 6s £ на прямую BE

находим и изображаем 6sB. Численно

бsB= 6s£cos60° =

/|6ф1cos30° • cos60° =

ОДЗЛбф! .

(5)

M6q>i + Q6 s D— F6 s B=

0 ,

(6)

или, заменяя

здесь

6s D и 6s s их значениями

(3) и (5) и вынося

одно­

временно 6ф|

за скобки,

(M + /,Q —0,43/,F)6<p, = 0 .

(7)

Так как

8ф| ф 0, то отсюда следует, что

М + liQ — 0,43/,F =

0 .

(8)

Из уравнения

(8) находим значение F и определяем X = F/c.

О т в е т :

Х =

13,5 см. Знак указывает, что пружина, как и предпо­

лагалось, растянута.

ступеней

шкива

1

равны:

R\

= 0,2

м,

г, = 0,1

м, а шкива 2 —

/?2 = 0,3

м,

/'2 =

0,15

м;

их

радиусы

инерций

относительно осей

вращения

равны

соответственно pi =

0,1

м и рг =

0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего

больший

вес;

веса

Pi,

...,

Ре

шкивов

и грузов

заданы в таблице

тела, вращающегося вокруг своей

оси симметрии (шкива),

система

сил инерции приводится к паре

с

моментом

М" = /ге, где 1 г —

момент инерции тела относительно оси

вращения,

е — угловое

ускоре­

ние тела; направление М* противоположно направлению е.

Т а б л и ц а

Д10

Номер

условия

Pi

P i

Рз

P i

Ръ

Ръ

М ,

Н-м

0

10

0

20

30

40

0

10

1

0

40

0

10

20

30

12 v

2

20

30

40

0

10

0

16

3

0

20

10

30

0

40

18

4

30

0

20

0

40

10

12

5

0

10

30

40

20

0

16

6

40

0

0

20

30

10

10

,7

10

20

0

40

0

30

18

8

0

40

10

0

30

20

12

9

30

0

40

20

10

0

16

жется в вертикальной плоскости под действием сил

тяжести

и

пары

сил с моментом М, приложенной

к блоку 1.

Д а н о :

Pi =

О,

Р2 =

30 Н,

Р3

=

40 Н,

Р 4 =

20

Н, М =

16

Н-м,

Ri = 0,2 м,

/?2 =

0,3

м,

/"2 =

0,15

м,

р2 =

0,2

м.

О п р е д е л и т ь :

ускорение груза 3,

пренебрегая

трением.

26А |+26А *" =

0 ,

( 1)

где 2 6 А |— сумма

элементарных

работ

активных

сил;

26Ai> — сумма

элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем

на чертеже

активные силы

Р2,

Рз, Ра и пару

на чертеже силы инерции F$,

F% и пару сил инерции с

моментом М2,

величины которых равны:

F$ =

—g^-<J3; FJ = —е^-а4 ;

M2" = - J - p i 8 2 .

(2)

3. Сообщая системе

возможное

перемещениеисоставляя

уравне­

ние ( 1), получим

(Рз sin 60° — Рз)Ьзз — М$6ф2 — Ff6 st — М6ф1=

0 .

(3)

Выразим все перемещения через 6ф2:

6s3 = R2 бф2 ; бSt = г26ф2 ;

бф, =

-^ - б ф 2 .

(4)

А 1

Подставив величины

(2)

и

(4)

в уравнение (3),

приведем

его

к виду

[ /^ (sin 60°---- у - ) R2 ------~ р2Е2----- ^ - я 4г2 —м ~ £ -\ 6ф2 =

0 .

(5)

Входящие сюда величины е2 и о4 выразим через искомую величи­

ну а3:

а3

г2

Е2 = ~ я Г ;

а4 =

егГ2 =

- ^ - а з -

Затем, учтя, что

6ф2 Ф 0,

приравняем

нулю выражение,

стоящее

в (5) в квадратных скобках.

Из полученного в результате уравнения найдем

P3R2 sin 60° — M(r2 /R\)

° 3 =

P3R2 + P2pi/R2 + P4(rl/R2)8 '

Вычисления дают

следующий

о т в е т :

а3 = —0,9 м/с2. Знак ука­

ступенчатые блоки У и 2

(рис. Д11.0 — Д11.9, табл. Д 11). Радиусы

ступенчатых

блоков 1

и

2 равны соответственно R i = R,

гi = 0,4R,

/?2 = R,

гг =

0,SR. При вычислении моментов инерции все блоки, катки

и колеса считать однородными сплошными

цилиндрами

радиуса R.

На

систему

кроме

сил тяжести действует сила F, приложенная

к телу

3 или

4

(если

тело 3 в систему не

входит, сила

приложена

в точке В к тележке),

и пары сил с моментами М\, М2, приложенные

к блокам / и 2; когда

М < 0, направление

момента противоположно

показанному на рисунке.

обозначенных номером

4, Р 4 — их

общий

вес

(вес платформы такой

тележки не учитывается).

Указания. Задача

Д 1 1 — на

применение

к

изучению движения

системы уравнений Л агранжа. В

задаче

система

имеет две степени

Т а б л и ц а Д 11

Номер

условия

Р,

Р*

Р3

Р,

Ръ

F

М,

М2

Пруж?

0

АР

0

3Р

АР

0

0

AB

1

0

2Р

—

—

ЗР

0

0

- 2 PR KE

2

0

2Р

—

Р

—

0

2PR

0

AB

3

—

0

2Р

5Р

—

0

0

2PR

BD

4

Р

—

—

—

АР

0

- P R

0

KE

5

—

—

АР

ЗР

—

Р

0

0

BD

6

2Р

0

—

—

Р

0

0

- P R

KE

7

—

АР

—

2Р

—

ЗР

0

2PR

AB

8

—

АР

2Р

0

—

0

0

3PR

BD

9

2Р

0

Р

—

0

2PR

0

AB

Решение начать с

выбора

обобщенных

координат, обозначив их

q 1 = х и q2 = ф или

q1 — х

и q2 = у. За

координату х принять

пружина в этот момент не деформирована.

Д а н о :

R,

с,

Pi =

2Р;

Р2 = 4Р;

Р3 = 2Р;

М = APR, а =

30°.

О п р е д е л и т ь :

1)

х =

f(t),

где х — удлинение пружины

(или переме­

щение центра

D

катка по отношению

к тележке

2 ) ; 2)

частоту

k и

берем в качестве обобщенных координат

угол

поворота

барабана

<р

и удлинение

пружины

x(qi =

q>,

=

х).

Тогда

уравнения Л агранжа

будут иметь

вид

d

/

дТ

\

дТ

„

d

(

дТ

дТ

dt

\

<5ф

/

дф

= Q,

dt

дх =

q 2 .

( 1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме

энергий всех

тел:

T = T i + T2

+ T3 .

(2)

Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется

поступательно,

а каток — плоскопараллельно, то

т

1 ,

2

т

1

Р *

2

7i =

-y /o to i ;

Т2 =

~2----------ц2 ,

Та =

Рз

/ Dt»3

(3)

+

g