teoreticheskaya_mehanika_1989
.pdfКоэффициент при 6<р в правой части полученного равенства и явля ется искомой обобщенной силой. Следовательно,
Q = [— сЯст+ ( m , g / 2 — cl)tp+ 2m3 g / 3 ] l . |
(18) |
Величину Хст опять находим учитывая, что при равновесии, |
т. е. |
при ф = 0, будет и Q = 0. В результате получим для Хст значение, да ваемое формулой (11). При таком Яст найдем из (18) окончательно, что
|
|
|
Q = (mig/ 2 — с/)/ф . |
(19) |
|
Подставляя значения соответствующих производных из равенств |
|||
(7) |
и значение Q, даваемое формулой (19), в уравнение |
(14), приведем |
||
его окончательно к виду |
|
|
|
|
|
Ф + |
(с/ — т , 5 / 2)--^-ф = 0 . |
(20) |
|
|
|
|
ао |
|
Решение уравнения (20) |
существенно зависит от знака |
коэффициента |
||
при ф. Если этот коэффициент положителен, т. е. |
|
|||
|
|
|
O n t \ g / 2 l , |
(21) |
то, |
введя обозначение |
|
|
|
|
|
к2 = (cl— m \ g / 2 )l/a<j, |
(22) |
|
получим, как известно, решение уравнения (20) в виде |
|
|||
|
Ф |
= |
C i sin (А/) + C 2 c o s ( 6 < ) . |
|
|
Если при t = 0 ф = |
фо и ф = фо, то Сг = фо, С| = фо/й. Но фо и фо |
||
всегда можно выбрать столь малыми, что угол ф во все время движения тоже будет оставаться малым и, следовательно, система будет совершать малые колебания около положения ее равновесия, определяемого уг лом ф = 0. Равновесие системы в таком случае называют устойчивым; условие устойчивости равновесия определяется в данной задаче неравен
ством |
(21). |
Если же коэффициент при ф в уравнении (20) будет отрицательным, |
|
т. е. |
будет c < m ig /2 /, то введя обозначение п = (ntig/ 2 — с/)//ао, |
приведем уравнение (20) к виду ф —п2 ц>= 0. Решением этого уравнения, как тоже известно, будет
<р= Cie"'+ С2 е - П‘
и, каковы бы ни были начальные условия, множитель еп‘, а с ним и угол ф, будут со временем возрастать, т. е. система, выведенная из равновесного
положения |
сколь угодно |
малым смещением (толчком), |
будет |
от этого |
|
положения |
все больше |
и больше отклоняться. |
Равновесие |
системы |
|
в таком случае называется неустойчивым. |
|
|
|
||
В решаемой задаче с = 750 Н/м, a m\g /2l « |
49 Н/м |
и неравенство |
|||
(21) выполняется. Следовательно, равновесие системы является устойчи вым и она может совершать около положения равновесия малые колеба ния. Круговая частота к этих колебаний определяется из равенства (22), а период т = 2к/к. Числовые значения искомых величин получаются, конечно, те же, что и в п. 5.
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
^ Методические у к а з а н и я ............................................................................ |
3 |
|
Г рабо1 |
1ая п р о гр а м м а .................................................................................. |
5 |
Список |
литературы........................................................................................... |
11 |
К о н тр о л ьн ы е за д а н и я ..................................... |
12 |
|
Со- 'Цсряйнне заданий, выбор вариантов, порядок выполнения ра |
|
|
бот, пояснения к тексту з а д а ч ........................................................... |
12 |
|
Задачи к контрольным задани ям ............................................................ |
14 |
|
С татика............................................................................................................. |
14 |
|
К и н е м а т и к а ...................................................................................................... |
29 |
|
Д и н ам и к а ........................................................................................................... |
50 |
|
X ,
\