4. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация

4.1. Основные теоретические сведения

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х₀ и если

то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция у=f(x) непрерывна в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х₀ существует и равен значению функции при х=х₀, то есть

Определение. Пусть х → х₀, оставаясь все время слева от х₀. Если при этом условии f(x) стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f(x) в точке х₀, то есть

Аналогично определяется и правый предел

Определение. Функция непрерывна в точке х₀ если:

• функция определена в точке х₀;

• существуют левый и правый пределы функции f(x) при х → х₀;

• все три числа (х₀), f(x₀ –0), f(x₀ +0) совпадают, то есть

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же

интервале и обе непрерывны в точке х₀, то в той же точке будут непрерывны и функции

Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Определение. Если в какой-либо точке х₀ функция не является непрерывной, то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Определение. Если в точке х₀ существует конечный lim f(x) = А

(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точки устранимого разрыва представлено на рис. 1.

Рис. 1

Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х₀, в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х₀

Рис.2

Определение. Если хотя бы один из пределов f(x₀ – 0) или f(x₀ + 0) не существует или бесконечен, то точка х₀ называется точкой разрыва, второго рода.

Графические представления разрывов функций второго рода в точке х₀ приведены на рис. 3 (а, б, в).

Приведенные выше определения непрерывности функции f(x) в точке х₀

представлены на рис. 4, где отмечено, что основной посылкой при определении непрерывности функции (необходимым условием) в точке х₀ является то, что f(x) определена в точке и ее окрестности.

Рис.3

Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,

изобразить в окрестности точек разрыва функцию

Решение.

Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. В точке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при

х → 1, имеем

Конечный предел функции при х→ 1 существует, а функция в точке

х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция

будет непрерывной.

Рис. 4

Поведение функции в окрестности точки х = 1 изображено на рис. 4.

Замечание. Данная функция

неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией

во всех точках кроме х =1

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва

Решение.

Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–, 0), (0,+) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции:

Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен

Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.

Рис. 5

Пример Исследовать функцию f(x) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х, = –2 и х₂ = 2, причем

не существует.

Вычисляем односторонние пределы в точке х, = –2.

Итак, в точке х = –2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х₂ =2. Имеем

В точке х₂ =2 функция также терпит разрыв второго рода.

Поведение функции в окрестности точек х_х= –2 и х₂ = 2 изображено на рис. 6.

Рис. 6

Пример.

Исследовать функцию f(x) = e^x+i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция неопределена прих = –3, поэтому функция непрерывна при всехкромех = –3. Определим характер разрыва функции. Имеем

то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв

второго рода.

Поведение функции f(x) = e^x+3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7

Рис. 7

4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности

2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва