1.3. Некоторые общие свойства функций

а) Четность и нечетность.

Определение. Функция у=f(x) называется четной, если для любого значения х из области определения функции, значение – х также принадлежит области определения и выполняется равенство:

f(x)=f (–x).

Согласно определению, четная функция определена в интервале, симметричном относительно начала координат.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение. Функция у=f (x) называется нечетной, если для любого значения х из области определения функции, значение – х также принадлежит области определения и выполняется равенство

f (x)= –f (–x).

Нечетная функция определена также в интервале, симметричном относительно начала координат.

Ее график симметричен относительно начала координат.

б) Периодичность функций

Определение. Функция у=f(x) называется периодической, если существует такое число Т0, что для любого значениях взятого из области определения функции, значения х+Т, х–Т также принадлежит области определения и выполняется равенство:

f (x)=f (xТ).

Число Т называется периодом функции.

в) Монотонность функций

Переменную величину называют монотонной, если она возрастает либо убывает.

Определение. Функция у=f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (а,в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₁<х₂ следует неравенство f(x₁)<f(x₂).

Определение. Функция у=f(x) называется монотонно убывающей на интервале (а,в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₁<х₂ следует неравенство f(x₁)>f(x₂).

Рассмотрим примеры

1. Найти область определения функций

а) у=5 х²

Решение.

Выражение у=5-х² при любом действительном значении х принимает действительные значения. Область определения функции D(f)=(,+).

б) у=

Решение.

Данная функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби 2х-1 обращается в нуль. Решая уравнение 2х-1=0, находим: х=Поэтому областью определения данной функции является объединение двух интервалов D(f)=(, )(,+).

в) у=

Решение.

Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Для нахождения области определения составим и решим неравенство х10, х1 Таким образом, областью определения функции является интервал [1,+). D(f)=[1,+).

г)

Решение.

Область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетворяющих неравенству

Неравенство равносильно системе неравенств

Из рисунка видно, что решением системы будет интервал .

Таким образом D(f )=.

д)

Решение.

Логарифмическая функция определена для положительных значений аргумента. Для нахождения области определения функции составим систему

Область определения функции есть объединение интервалов.

D(f )=(-1,1)(1,+).

е)

Решение.

Функция у=arccos x определена на интервале [–1,1]. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как множество значений, удовлетворяющих неравенству

D(f)=[0, 4].

2. Установить четность или нечетность функции

а) у=х²+5х

Решение.

Область определения D(f)=(,+) – симметрична относительно начала координат. Воспользуемся определением четной и нечетной функции. Имеем

f(–x)=(–x)²+5(–x)=x²–5x.

Таким образом, f(–x) f(x) и f(–x) –f(x), т.е. заданная функция не является ни четной , ни нечетной.

б) у=2^х+2^-х

Решение.

Область определения D(f)=(;+). Имеем f(x)=2^-х+2^-(-х)=2^-х+2^х, т.е. f(x)= f(x). Данная функция – четная.

в)

Решение.

Найдем область определения функции

D(f)=(,3)(3,+).

Область определения симметрична относительно начала координат. Найдем

f(–x)===,

т.е. f(x)= f(x), и, следовательно, данная функция – нечетная.

г)

Решение.

Область определения функции D(f )=(,1)(1,+) несимметрична относительно начала координат. Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

д)

Решение.

Найдем область определения данной функции

D(f)=(,1)(-1,1)(1,+). Область определения симметрична относительно начала координат.

Найдем f(–x)=

Видно, что f(x) f(x) и f(x) –f(x). Поэтому данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить, какие из следующих функций периодичны и найти их основные периоды.

При выполнении этих упражнений необходимо помнить, что функции у=sin x и y=cos x имеют период, равный 2, а функции y=tg x и y=ctg x – период, равный .

а) у=cos 8x

Решение.

Так как основной период функции cos x есть 2, то основной период функции у=cos 8x равен , т.е..

б) y= sin 6x+tg 4x

Решение.

Здесь для первого слагаемого основной период равен , а для второго – он равен. Очевидно, что основной период данной функции есть наименьшее общее кратное чисели, т.е..

в) y=ln cos 2x

Решение.

Основной период для функции cos x равен 2, для cos 2x равен  . Следовательно, для данной функции основной период равен .

г) y=sin² 3x

Решение.

Преобразуем выражение sin² 3x=.Период функции cos 6x равен . Следовательно, данная функция имеет период, равный.

д) y=sin

Решение.

Функция y=sin не является периодической т.к. для числа х=0, число х–Т, (если Т>0) или число х+Т, (если Т<0) не принадлежит области определения функции.

1.4. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Найти область определения функции

2.Установить четность или нечетность функции