2.2. Предел функции непрерывного аргумента

Пусть независимая переменная х функции у=f(x) неограниченно возрастает. Это означает, что мы придаем х любые значения больше всякого наперед заданного положительного числа. Говорят, что х стремится к положительной бесконечности и записывают х+.

Если х неограниченно убывает, т.е. становится меньше всякого наперед заданногоотрицательного числа, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и записывают х .

Аргумент функции, изменяющийся указанным образом, называется бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при бесконечно большом аргументе соответствующие значения f(x)неограниченно приближаются к некоторому числу А. Тогда говорят, что число А есть предел функции у=f(x) при х+ или при х.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х+ , если для любого положительного числа  существует х₀ такое, что для всех х>х₀ имеет место неравенство

|f(x)–А|<

Символическая запись предела функции

Графическая иллюстрация.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х  , если для любого положительного числа  существует х₀ такое, что для всех х<х₀ выполняется неравенство

|f(x)–А|<

Символическая запись предела функции

Графическая иллюстрация

Иногда бывает, что и при х+ и при х  функция f(x) стремится к одному и тому же пределу А. Записывают это так

Примеры.

1. у=arctg x

2) у=е^х

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) в точке а, если для любого положительного числа  существует такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство

|f(x)–А|<

Символическая запись

Графическая иллюстрация

Если f(x)A при ха, то на графике функции у=f(x) это иллюстрируется следующим образом. Так как из неравенства 0<|х-a|< следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на , точки М графика функции лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у=А- и у=А+.

Пример.

Докажем, что

Пусть задано произвольное  >0; для того, чтобы выполнялось неравенство |(3х+1)–7|<, необходимо выполнение следующих неравенств

|3х–6|<,

Пусть , тогда|x-2|<, или .

Таким образом, при любом  для всех х, удовлетворяющих неравенству , значение функции 3х+1 будет отличаться от 7 меньше, чем на

 . А это и значит, что 7 есть предел функции при х2.

2.3.Понятие бесконечно большой и бесконечно малой величины

Определение. Функция f(x) стремится к бесконечности при х а, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, можно найти такое  >0, что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию 0<|х-a|<, имеет место неравенство |f(x)|>M.

Символическая запись

Если f(x) стремится к бесконечности при х а и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

или

Функция у=f(x), являющаяся при х а бесконечно большой величиной, не имеет предела в обычном смысле.

Графическая иллюстрация

Определение. Функция f(x), называется бесконечно большой величиной при х+, если для любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, найдется такое значение х₀, что для всех значений х, удовлетворяющих условию х>х₀, будет выполняться неравенство

|f(x)|>M.

Символическая запись

Функция у=f(x) при х а или при х  может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

Определение. Функция, стремящаяся к нулю при х а называется бесконечно малой величиной, т.е.

Бесконечно большие и бесконечно малые величины будем обозначать (х), (х), ...

Теорема. (О связи бесконечно большой с бесконечно малой функцией)

Если функция (х)–бесконечно большая величина, то – бесконечно малая величина; если функция(х)–бесконечно малая величина, то – бесконечно большая величина.

Теорема. Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины, т.е.

f(x)=А+ (х).