1.2. Системи випадкових величин Закон розподілу
Розглянемо спочатку двовимірну дискретну випадкову величину. Під законом розподілу такої величини будемо розуміти сукупність можливих значень цієї величини, тобто пар чисел (хі, уj) та їх ймовірностей P(xi, yj) (і=1, ... , n; j=1, ..., m). Зазвичай закон розподілу такої випадкової величини задається таблицею
Таблиця 1
|
X Y |
x1 |
x2 |
... |
xn |
Р(y) |
|
y1 |
p(х1, y1) |
p(x2, y1) |
... |
p(xn , y1) |
Р(y1) |
|
y2 |
p(x1, y2) |
р(х2, у2) |
... |
p(xn , y2) |
Р(y2) |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
ym |
p(x1, ym) |
р(x2, ym) |
... |
р(xn, ym) |
Р(ym) |
|
Р(х) |
Р(х1) |
Р(х2) |
... |
P(xn) |
1 |
У таблиці 1 у комірках з координатами (xi, уj) знаходяться ймовірності події {X=xi,Y=yj}. Припускається, що всі можливі комбінації подій {Х=xi, Y=уj} утворюють повну групу подій. Знаючи закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини, можна знайти закони розподілу окремих її складових. Так, наприклад, події {Х = х1, У = у1}, {Х = х1, Y = у2}, ... , {Х = х1, Y = ут} несумісні, тому ймовірність події {X = х1} за теоремою додавання несумісних подій
Р(х1) = р(х1, у1) + ... +р(х1, ym).
Отже, ймовірність того, що випадкова величина X матиме значення Хi дорівнює сумі ймовірностей стовпчика хi. Ці ймовірності записані в останньому рядку таблиці. Аналогічно в останньому стовпчику цієї ж таблиці записані ймовірності можливих значень величини Y. Крім того,
Умовна ймовірність події {Y = yj}, якщо спостерігалася подія {X = хi }, розраховується за формулою
.
Сукупність
умовних ймовірностей
,
,…,
,
що відповідають одному і тому ж значеннюхi
,
називають умовним
розподілом
приX = xi.
+
+…+
=
=
1.
Розглянемо двовимірну випадкову величину (Х, Y) (систему двох випадкових величин Х, Y) і пару дійсних чисел (х,у). Ймовірність події X, що матиме значення менше ніж x, і при цьому Y прийме значення менше ніж у, позначимо через F(х,у).
Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) називають ймовірність
.
Щільністю сумісного розподілу ймовірностей f(х,у) двовимірної випадкової величини (X, Y) називають другу змішану похідну від функції розподілу F(х,у)
.
.
З означення та властивостей функції F(х, у) випливають властивості щільності розподілу:
f(x,y)
0; 
;
.
Числові характеристики двовимірних випадкових величин
Умовне математичне сподівання позначається М(Y/х) і обчислюється за формулою
.
Аналогічно за відомими формулами вводяться й інші числові характеристики: умовна дисперсія і умовні моменти більш високих порядків.
Для системи неперервних випадкових величин маємо формули:
;
;
;
;
;
.
Для системи дискретних випадкових величин маємо формули:
;
;
;
.
Характеристикою зв’язку між випадковими величинами X та Y служить математичне сподівання перетинів відхилень X та Y від їхніх центрів, яке називають моментом кореляції і обчислюють за формулами для неперервних та дискретних випадкових величин:
,
або
.
Отже
,
.
Величина кореляційного моменту залежить від одиниць вимірювань випадкових величин. Тому для системи двох величин вводять нову числову характеристику – коефіцієнт кореляції за формулою
.