Деякі закони розподілу дискретних випадкових величин

Біномний розподіл. Цілочислова невід’ємна випадкова величина(кількість появ події внезалежних випробуваннях) розподілена за біноміальним законом, якщо подіямає ймовірність

.

Ймовірності можливих значень випадкової величини дорівнюють відповідним членам розкладу бінома .

Функція розподілу випадкової величини має вигляд:

Числові характеристики біномного розподілу:

.

Розподіл Пуассона. Числова невід’ємна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо подіямає ймовірність

,

де – параметр закону Пуассона (п.3.2),.

Функція розподілу величини має вигляд:

Числові характеристики розподілу Пуассона: .

Закони розподілу неперервних випадкових величин

Рівномірний розподіл. Неперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на проміжку, якщо її щільність розподілу є сталою величиною на цьому проміжку і дорівнює

Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:

Числові характеристики рівномірного розподілу:

.

Ймовірність попадання випадкової величини, яка має рівномірний розподіл, в інтервал обчислюється за формулою

.

Рівномірний розподіл часто використовують для генерування випадкових чисел.

Експоненціальний (показниковий розподіл).Випадкова величинамає експоненціальний розподіл, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

де – параметр закону.

Відповідно функцію розподілу записують так:

Експоненціальний закон має числові характеристики:

.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервалобчислюється за формулою

.

Експоненціальний закон застосовується для опису таких випадкових величин як час безвідмовної роботи пристроїв або їхніх окремих елементів.

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Неперервна випадкова величинарозподілена за законом Гаусса, якщо її щільність розподілу має вигляд:

,

де і– параметри розподілу.

Графік функції називається кривою нормального розподілу (кривою Ґаусса):

Ця крива симетрична відносно прямої , має максимум при; прикрива необмежено наближується до осі. Якщозростає, то функціяспадає, і крива стає більш розтягнутою вздовж.

Числові характеристики випадкової величини, розподіленої за законом Ґаусса, дорівнюють:

;

.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал

,

де – функція Лапласа.

Розподіл ( хі квадрат).Розподіломз– ступенями свободи називається розподіл суми квадратівнезалежних випадкових величин, розподілених за стандартним нормальним законом(де), тобто

,

де мають нормальний розподіл.

Розподіл Стьюдента (t – розподіл).Розподілом Стьюдента називається розподіл випадкової величини

,

де – випадкова величина, розподілена за стандартним нормальним законом, тобто– незалежна відвипадкова величина, що має-розподіл зступенями свободи. Прикрива-розподілу наближається до нормальної кривої.

Основні закони розподілу

Розглянемо приклади випадкових величин, що найчастіше використовуються у дослідженнях:

1. Неперервна випадкова величина розподілена нормально, її диференціальна функція розподілу має вигляд. Числаназивають параметрами розподілу, їхні вибіркові оцінки знаходять за формулами.

2. Випадкова величина, що має сталу диференціальну функцію , де, та, якщоі, розподіленарівномірно і має параметри розподілу. Їхні вибіркові оцінки обчислюються за формулами.

3. Випадкова величина, диференціальна функція якої прита, при, маєекспоненціальний (показниковий) розподіл. Параметр розподілу має оцінку.

4. Біноміальним єзакон розподілу випадкової величини, ймовірності якої обчислюються за формулами Бернуллі, де– параметри. Параметр розподілурмає оцінку, де– максимальне число появи події у випробуванні.

У випадку, коли є дуже малим числом, а числоn– достатньо великим, замість формули Бернуллі слід використовувати формулу (розподіл Пуассона). Параметр розподілумає оцінку.