3. Электростатика. Постоянный электрический ток. Основные формулы

Закон Кулона

р_ Q.Q2

4я£о£Г

где F — сила взаимодействия точечных зарядов Q\ и Q₂; г — расстояние между зарядами; е — диэлектрическая проницаемость; е₀ — электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля и потенциал

E=F/Q, <p=II/Q,

где П — потенциальная энергия точечного положитель­ного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

70

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

F=QE, n=Qcp.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

ЛГ N

1=1 1=1

где Ег, ф, — напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого г-м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

_Е== Q ф=_^_

4яе₀ЕГ² ' ^т 4ле₀ег '

где г — расстояние от заряда Q до точки, в которой опре­деляются напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого про­водящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии г от центра сферы:

^{б) Ј=}-4^F^; 4>=-di3f ^{(при г==/?);}

в) £=—^-_Т; Ф = ^-2— (при r>R),

' 4ле₀Е/-² ^ 4яё₀ёг

где Q — заряд сферы.

Линейная плотность заряда

t=Q//.

Поверхностная плотность заряда a=Q/S.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого рас­пределенными зарядами. Если заряд равномерно распре­делен вдоль линии с линейной плотностью т, то на линии выделяется малый участок длиной d/ с зарядом dQ =

71

= xd/. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

, — i&l г , xd/

4ле₀ег² I ' 4яе₀ел '

где г — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента d/ к точке, в которой вычисляется напряжен­ность.

Используя принцип суперпозиции электрических по­лей, находим интегрированием напряженность Е и потен­циал ф поля, создаваемого распределенным зарядом:

г, т f d/ г

^{Е =} ~л ) — — > Ф

4ЛЕг>Е J. г^г Г '

Г d/

4ЛЕ0Е •'.Л² Г ' 4лЕоЕ J, Г

Интегрирование ведется вдоль всей длины / заряжен­ной линии (см. примеры 5 и 8).

Напряженность поля, создаваемого бесконечной пря­мой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

Е = ——

2лЕоЕГ '

где г — расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной рав­номерно заряженной плоскостью,

£ = _£-.

2ёоё

Связь потенциала с напряженностью:

а) E = -grad<p, или Е= -( |-£+j^-fk^) в об-

щем случае;

б) Ј=((pi — ф2)/с/ в случае однородного поля;

в) £= -р в случае поля, обладающего централь­ ной или осевой симметрией.

Электрический момент диполя

P = IQH,

где Q — заряд; I — плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положитель­ному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом ф] в точку с потенциалом ф₂

^12=С?(ф1 —фг).

72

Эл ектроем кость

С=С?/ф, или C=Q/U,

где ф — потенциал проводника (при условий, что в беско­нечности потенциал проводника принимается равным нулю); U — разность потенциалов пластин конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора C = EoeS/d,

где 5 — площадь пластины (одной) конденсатора; d — расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

1 ^N 1

а) -7г= 2 -тг при последовательном соединении;

N

б) С= 2 & ^ПР^И параллельном соединении,

;= i где N — число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора:

W=QU/2, W=CU²/2, W=Q²/{2C).

Сила постоянного тока

I=Q/t,

где Q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. Плотность тока

/W/S,

где 5 — площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью (и) направленного движения заряженных частиц

где Q — заряд частицы; п — концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

а) /= ''" ~^фг = — для участка цепи, не содержащего

А А

ЭДС, где ф1— ц>2=и — разность потенциалов (напря­жение) на концах участка цепи; R — сопротивление участка;

б) /=-"—2_i—s_ д_Ля участка цепи, содержащего

73

ЭДС, где S— ЭДС источника тока; R — полное сопро­тивление участка (сумма внешних и внутренних сопро­тивлений);

иг

^в) ^— в | _D Для замкнутой (полной) цепи, где R—

внешнее сопротивление цепи; /?, — внутреннее сопротив­ление цепи.

Законы Кирхгофа:

а) 2^ = 0—первый закон;

б) 2 IiRi=2_lЈ i — второй закон,

где 2 /; — алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; 2 hRi — алгебраическая сумма произведений сил

токов на сопротивления участков; 2 £ i — алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника

R = pt/S, G = yS/l,

где р — удельное сопротивление; у — удельная прово­димость; / — длина проводника; S — площадь поперечно­го сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а) /?=2 Ri при последовательном соединении;

б) —= У. -jr- при параллельном соединении, где Ri —

сопротивление /-го проводника. Работа тока:

А = Wt, A = I²Rt, A = U²t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две — для участка, не содержащего ЭДС. Мощность тока:

P = W, P = PR, Р = U²/R.

Закон Джоуля—Ленца

Q = I²Rt. Закон Ома в дифференциальной форме

где у — удельная проводимость; Е — напряженность электрического поля; j — плотность тока.

Связь удельной проводимости у с подвижностью Ь заряженных частиц (ионов)

y=Qn{b+ + b-),

где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; Ь+ и Ь_ — подвижности положительных и отрицательных ионов.