I. Физические основы классической механики Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

x = f(t),

где /(/) — некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось х

<°*>=-дТ-

Средняя путевая скорость

<^У>=^Г'

где As — путь, пройденный точкой за интервал време­ни А/. Путь As в отличие от разности координат Ах~ = Х2 — Х\ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. As^O.

Проекция мгновенной скорости на ось х

Ах

Проекция среднего ускорения на ось х

Проекция мгновенного ускорения на ось х

а_х= —- . At

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

Ф = Я0> r — R = const.

Модуль угловой скорости

At ■ Модуль углового ускорения

da> 8 = — .

At

13

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

v = (aR, a_x = sR, a_n = со²/?,

где v — модуль линейной скорости; а_ти а„ — модули тангенциального и нормального ускорений; со — модуль угловой скорости;е — модуль углового ускорения;R — радиус окружности.

Модуль полного ускорения

а =д/an-f-a², илиа = Ry е²-\-а⁴.

Угол между полным а и нормальным а„ ускорениями

а= arccos(a„/a).

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = А соэ(со/ + ф),

где х — смещение; Л — амплитуда колебаний; со — уг­ловая или циклическая частота; ф — начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершаю­щей гармонические колебания:

v = —Леоsin(со/ + ф)".^а = —Лео²соз(со/ + ф).

Сложение гармонических колебаний одного направ­ления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

Л =Ул²+Л|-_г-2Л1Л₂соз(ф2 —фО ;

б) начальная фаза результирующего колебания

Ф = arctg—-Н—;*^L ■

^T ° A\ coscpi+j42 cosq>2

Траектория точки, участвующей в двух взаимно пер­пендикулярных колебаниях,

х = Л1Созсо^; у = Л₂со5(со/+ф)-

а) у = -—-х, если разность фаз ф=0;

б) у = -р-х, если разность фаз ф=±я;

в) •4т + -7Г⁼⁼1.^еслиразность фаз ф=±-у. 14

Уравнение плоской бегущей волны

у = A cosсо (f^-j,

где у — смещение любой из точек среды с координатойх в моментt; v — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Дф колебаний с расстоянием Ах между точками среды, отсчитанным в направлении рас­пространения колебаний;

Лф = -£-Дл:,

где % — длина волны.

Импульс материальной точки массой т, движущейся со скоростьюv,

р = тх.

Второй закон Ньютона

dp=Fd/,

где F— результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = —kx,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость);х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

Р= mg;

в) сила гравитационного взаимодействия

r = <J—р—,

где G— гравитационная постоянная;miи т₂— массы взаимодействующих тел;г — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра­зить также через напряженностьGгравитационного поля:

F=mG;

15

г) сила трения (скольжения) F = fN,

где / — коэффициент трения; N — сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульса

N

2 Р< = const,

1=1

или для двух тел (г=2)

miVi-f-m₂v₂=miUi -j- m₂u₂,

где Vi и V2 — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; Ui и и₂ — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

Т = mv²/2, или Т = р²/{2т).

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

T\=^l/₂kx²,

где k — жесткость пружины; х — абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия

П = — Gmi/n₂/r,

где G — гравитационная постоянная; т\ и т₂ — массы взаимодействующих тел; г — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровяем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии й<Я, где # —радиус Земли). Закон сохранения механической энергии

£== Г + П = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

Л = ЛГ= Т₂ — Ti.

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния относительно неподвижной оси z

М_г = /_ге,

где М_г — результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело; е — угловое ускоре­ние; /_г — момент инерции относительно оси вращения. Моменты инерции некоторых тел массой пг относи­тельно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной / относительно оси, перпендику­ лярной стержню,

/_г=7.₂т/²;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

Jz=mR\

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендику­ лярной плоскости диска,

]_г = ^l/₂mR².

Проекция на ось z момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси z,

L_z = /_гсо,

где со — угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вра­щающихся вокруг неподвижной оси г,

/_гсо = const,

где /₂ — момент инерции системы тел относительно оси z; со — угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

Т = ' /₂/_гсо², или Т = L²/(2J_Z).