Примеры решения задач

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) othochJ тельную молекулярную массу М_г\ 2) молярную массу

Решение. 1. Относительная молекулярная MaccJ вещества равна сумме относительных атомных масс все| элементов, атомы которых входят в состав молекулы даь ного вещества, и определяется по формуле

M_r=2 titAr.i,

где tii — число атомов г-го элемента, входящих в моле кулу; А_г, i — относительная атомная масса i-ro элемента Химическая формула серной кислоты имеет ви| H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входя атомы трех элементов, то стоящая в правой части равен

ства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид

M_r = niAr, 1+ пчАг, ₂ + п₃А_г,з. (2)

Из формулы серной кислоты далее следует, что /ii=2 (два атома водорода), п₂=1 (один атом серы) и м₃=4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:

Л_г,,= 1, Л_г,₂ = 32, Л_г,з=16.

Подставив значения /г, и A_r,i в формулу (2), найдем относительную молекулярную массу серной кислоты:

Л*, —2-1-f 1-32 + 4-16 = 98.

2. Зная относительную молекулярную массу М_г, най­дем молярную массу серной кислоты по формуле

М = M_rk, (3)

где /г=10~~³ кг/моль.

Подставив в (3) значения величин, получим

М = 98-1СГ³ кг/моль.

Пример 2. Определить молярную массу М смеси кис­лорода массой гп\ = 25 г и азота массой тг=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М есть отноше­ние массы смеси т к количеству вещества смеси v:

M = m/v. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

т = гп\ -\-ni2-

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

v = v, + v₂=~+_1?r. Подставив в формулу (1) выражения т и v, получим

(2)

М =

mi/Mi + ГП2/М2

Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода Mi и азота Мг:

М, = 32-1(Г³ кг/моль; М₂ = 28-1(Г³ кг/моль.

50

51

Подставим значения величии в (2) и произведем вы-| числения:

_Х/| 25-Ю^-3+ 75-10"³ ,

^М - 25-10-³/(32- 10-^э) + 75-10-7(28- 1<Г³) ^КГ/^М0ЛЬ ~

= 28,9.10^_3 кг/моль.

Пример 3. Определить число N молекул, содержащих-! ся в объеме У=1 мм³ воды, и массу т\ молекулы воды.; Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, i соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d мо-1 лекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в не-] которой системе массой т, равно произведению постоян­ной Авогадро Na на количество вещества v:

N = vjVa.

Так как v=m/M, где М — молярная масса, то iV=]

= ^m ..^А . Выразив в этой формуле массу как произведение]

плотности на объем V, получим

N = _PVNa/M.

Произведем вычисления, учитывая, что М=18Х X Ю^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

N^ IJf'/o-T -6,02.10²³ молекул = 3,34-10¹⁹ молекул.

Массу т\ одной молекулы можно найти по формуле! т_х = М/Ы_А. (1)

Подставив в (1) значения М и Na, найдем массу моле-] кулы воды:

"^I'=w^Kr=2-"^,ir26Kr-

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу,] то можно считать, что на каждую молекулу приходится] объем (кубическая ячейка) Vi=d³, где d — диаметр мо­лекулы. Отсюда

d = W7 . (2)1

Объем Vi найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т. е. на Na:

y, = V_m/tf_A. (J

52

Подставим выражение (3) в (2):

d = -^V_m/N_A, где V_m=M/p. Тогда

d = \jM/(_PN_A). (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

/ [^1 ) ^1/з_/ _ 1 кг/моль 1 ^7з_ .

I [p][^a]J I 1кг/мМ моль"¹) ~ ^М'

Произведем вычисления:

d=-yj з¹⁸'¹⁰"³,, м = 3,1Ы0-" м = 311 пм. V 10³-6,02-10²³

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением pi= 1 МПа и при температуре 7^1 = 300 К. После того как из баллона было взято т=10г гелия, температура в баллоне понизилась до Г₂=290К. Опре­делить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

p₂V=^-RT₂, (1)

где т₂ — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М — молярная масса гелия; R — молярная газовая по­стоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

р₂= m₂RT₂/{MV). (2)

Массу т₂ гелия выразим через массу т,\, соответству­ющую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:

т₂=т₁—т. (3)

Массу т\ гелия найдем также из уравнения Менде­леева — Клапейрона, применив его к начальному со­стоянию:

m\ = M_P\V/(RT{). (4)

Подставив выражение массы т\ в (3), а затем выра­жение т₂ в (2), найдем

RT₂ MV

/ MpiV \

53

или

(5

Р2 = -

■Р\

т RT₂ М V

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т₂/Т\) —безразмерный, а второй — давле­ние. Проверим второе слагаемое:

■X

[ш] [R] [Т] _ 1 кг 1 Дж/(моль-К)-1К _ 1 кг-1 м

1 кг

[М] [V] 1 кг/моль 1 м³

1 Н-м

1 Н

= 1 Па.

_х_ 1Дж-1К 1 Дж

1м²

1 M^J

■ 1 моль-1 К

Паскаль является единицей давления. Произведе вычисления по формуле (5), учитывая, что М-= 4-10~³кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

ю^-

290 300

:,31

_ч

•10⁶

Ра

.. 290 ю

: 0,364 МПа

4-10"

>) Па = 3,64-10⁵Па =

Пример 5. Баллон содержитmi = 80 г кислорода и| /П2 = 320 г аргона. Давление смеси р= 1 МПа, температу­ра 7 = 300 К- Принимая данные газы за идеальные,! определить объемV баллона.

Решение.По закону Дальтона, давление смеси! равно сумме парциальных давлений газов, входящих в| состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона,! парциальные давленияр\ кислорода и р₂аргона выра-1 жаются формулами

p, = m,/?7y(M,V), р₂= т₂/?Г/(М₂У).

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси! газов

RT

V '

. /mi . тЛ

_P = _Pi+_P2, ИЛИ_р={—- + —)

откуда объем баллона

у / т\ . m₂\ RT

(01

Произведем вычисления, учитывая, что Mi = 32X X 10~³кг/моль, М₂= 40-10~³кг/моль (см. табл. 14 При­ложения) :

у₌₌(_2а_₊-^) «К»-зоо_м³= 0,0262 м³= 26,2 л.

V 32-10-^{J т} 40-10"³/ 10⁶

Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию <е_вр) вращательного движения одной молекулы кислоро­да при температуреТ = 350 К, а также кинетическую энергиюЕ_к вращательного движения всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Решение.На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия(ei) =

= у &7\ где k — постоянная Больцмана;Т — термодина­мическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислоро­да — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

<е._р>=2--1-М\ (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

£_к=<е_вр>ЛГ. (2)

Число всех молекул газа

N=N_Av, (3)

где Na — постоянная Авогадро;v — количество веще­ства.

Если учесть, что количество вещества v=m/M, гдеm — масса газа;М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

£_К=Л/_Ат<е_вр>/М. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32- Ю^-3кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

<е_вр> = /г7^,= 1,38-10-²³-350Дж = 4,83-10-²¹Дж; £к=6,02-10²³-⁴"'°1³₃-⁴>83-10~²' Дж = 364Дж.

54

55

Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cv и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

^Ср~ 2 М' (²)

где г — число степеней свободы молекулы газа; М — мо­лярная масса. Для неона (одноатомный газ) /=3 и М= 20-Ю^-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения). Произведем вычисления:

3 8,31

Cv =

- ₎₀^Дж/(кг.К) = 6,24.10² Дж/(кг.К);

^с"^{= 3}t² ₂₀⁸'ш-з Дж/(кг-К) = 1,04-10³ Дж/(кг-К).

Для водорода (двухатомный газ) 1=5 и М = = 2-10~³ кг/моль. Тогда

^C*=TTW? Д^ж/(кг.К) = 1,04.10⁴ Дж/(кг.К); ^{Ср= 5}t² ₂⁸io-³ Д^ж/(^кг-К) = 1,46.10⁴ Дж/(кг.К).

Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости c_v и с_р смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют да, = 80% и uz>₂ = 20%. Значения удельных теплоемкостеи газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость cv смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на AT, выразим двумя способами:

Q = Cv(mi + m₂)A7', (1)

Q = (cy,imi-_r-cy,2/n₂)A7\ (2)

где Cv,\ — удельная теплоемкость неона; Cv,2 — удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе

части полученного равенства на AT, получим с\{т\-\-Jt-m2) = cv,itni + cv,2tn2. Отсюда

П%2

Cv=Cv,\ г И С

V.2-

mi + m₂ ' mi -\- m.2 '

или

Cv=C_V,\W\ +Су,2Ш₂,

/П| тг где W\= : И 102 = г .

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

Cp=C_p,iW\ + C_P,2W2-

Произведем вычисления: c_v= (6,24• 10²• 0,8 + 1,04• 10⁴• 0,2) Дж/ (кг• К) =

= 2,58-10³ Дж/(кг-К) =2,58 кДж/(кг-К); с_р = (1,04-10³-0,8+1,46-10⁴-0,2) Дж/(кг-К) =

= 3,75-10³ Дж/(кг-К)=3,75 кДж/(кг-К).

Пример 9. Кислород массой т = 2кг занимает объем V, = 1 м³ и находится под давлением р1 = 0,2МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема у₂ = 3м, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5МПа. Найти изменение AU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан­ную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

AU = c_vmAT=±-^_rmAT; (1)

где i — число степеней свободы молекул газа (для двух­атомных молекул кислорода г"=5); АТ=Тз—Т\ — раз­ность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона pV= , откуда

T=pVM/(mR).

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

л— ^т' ¹ MRIS.T '

56

57

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме] равна нулю:

А₂ = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом!

А = А₁+А₂ = А₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q1 переданная газу, равна сумме изменения внутренней! энергииAU и работыА:

Q = AU + A.

2-10⁵-1-32-10-^г

2-8,31 2-10⁵-3-32-1СГ³

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода! М = 32-10~³кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

Т₂=-

2-8,31 5- 10⁵-3-32-1(Г³

К = 385 К; К = 1155 К;

7-₃ =

К = 2887 К;

8,31-2.(1155 — 385)

2-8,31

Дж = 0,400-10⁶Дж = 0,4 МДж;

32-10"'

Л = Л, = 0,4 МДж; 5 8,31-2(2887-385)

AU-

Дж = 3,24-10^ьДж=3,24 МДж;

32-10-

Q = (3,24+ 0,4) МДж = 3,64 МДж.

соотношением

или -=-=-

¹1

Г₂₌/ УЛ Г, \ У₂)

где V — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;ti\ = V₂/V\.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

7-₂= Г,/лП-.

Работа А\ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

л₁₌₁,-^Су<г,--г_г)-~4-«(г,-Ы

где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. РаботаА₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где п₂ = V₂/Vz.

300

300

г К.

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа 7=1.4, г = 5 и М = 2-10^_3кг/моль:

К =

Т₂ =

Так как 5^0,4=1,91 (находится логарифмированием),

зоо

то

1,91

К=157К;

*-V

График процесса приведен на рис. 7.

Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водо­род массой т = 0,02 кг при температуре 7*1 = 300

Водород сначала расширился адиа-батно, увеличив свой объем в щ = 5 раз, а затем был сжат изотер­мически, причем объем газа умень­шился в п-i = 5 раз. Найти темпера­туру в конце адиабатного расшире-¹ ния и работу, совершаемую газом] при этих процессах. Изобразить] процесс графически.

Решение.Температуры и объ­ емы газа, совершающего адиабат-]Рис. 7 ный процесс, связаны между собой]

2-Ю"³-2 0,02

, = °f²;5;_:f'f (300-157) Дж = 29,8 кДж;

—21 кДж.

А₂ = -

_т-8,ЗЫ57 1п+Дж =

⁶ о

2-10

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом вне­шними силами.

График процесса приве­ден на рис. 8.

Рис. 8

Пример 11. Тепловая ма­шина работает по обратимо­му циклу Карно. Температу­ра теплоотдатчика Г, = = 500 К. Определить тер-

58

59

_Г

мический КПД г\ цикла и температуру Г₂ теплоприем ника тепловой машины, если за счет каждого кило джоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машин! совершает работу А — 350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от тепло! отдатчика, превращается в механическую работу. Терми! ческий КПД выражается формулой

r\ = A/Q_u.

где Qi — теплота, полученная от теплоотдатчика; А работа, совершенная рабочим телом тепловой машины

Зная КПД цикла, можно по формуле t) = (jTi — Г₂)/Г| определить температуру охладителя Т₂:

Г₂=Г,(1—т,).

Произведем вычисления:

т| = 350/1000 =0,35; Т₂ = 500( 1 - 0,35) К = 325 К

Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыль ного пузыря диаметром й=10см. Какую работу нужнс совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет два сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

Р = 2 —,

где г — радиус пузыря. Так как r — d/2, то

p = 8a/d.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на AS, выражается формулой

A = aAS, или A = o(S — So).

В данном случае S — общая площадь двух сферически! поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общай площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивав шей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрег гая So, получаем

A = aS = 2nd²a. 60

Произведем вычисления:

Па = 3,2 Па;

-³ Дж =

8-40- Ю-³

0,1

-³ Дж = 2,5-10

2,5 мДж.

Л = 2.3,14-(0,1)²-40-10

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить массу m атома азота. [2,33- Ю^-26 кг]

2. Плотность газа р при давлении р = 96 кПа и темпе­ратуре * = 0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу М газа. [32-10~³ кг/моль]

3. Определить давления р\ и р₂ газа, содержащего #= Ю⁹ молекул и имеющего объем V= 1 см³, при темпе­ратурах Г, = ЗК и r₂=1000K. [41,4 нПа; 13,8 мкПа]

4. При температуре /=35°С и давлении р = 708 кПа плотность некоторого газа р=12,2кг/м³. Определить относительную молекулярную массу М_г газа. [44,1]

5. Какой объем V занимает смесь азота массой mi = = 1 кг и гелия массой т₂=1 кг при нормальных услови­ях? [6,4 м³]

6. В баллоне вместимостью У=15л находится смесь, содержащая mi = 10 г водорода, т₂ = 54 г водяного пара и тз = 60г оксида углерода. Температура смеси /=27°. Определить давление. [1,69 МПа]

7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака ЫНз при температуре t=27°C. [1,24-Ю^-20 Дж; 6,2-10~²¹ Дж]

8. Определить удельные теплоемкости Cv и с_р газо­образного оксида углерода СО. [743 Дж/(кг-К); 1,04 кДж/(кг-К)1

9. Смесь газа состоит из кислорода 0₂ с массовой долей ш>1 = 85% и озона Оз с массовой долей ш₂= 15%. Определить удельные теплоемкости cv и с_р этой газовой смеси. [629 Дж/(кг-К); 877 Дж/(кг-К)]

10. Газовая смесь состоит из азота массой mi = Зкг и водяного пара массой т₂=1 кг. Принимая эти газы за идеальные, определить удельные теплоемкости cv и с_р газовой смеси. [902 Дж/(кг-К); 1,24 кДж/(кг-К)]

11. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удельных теплоемкостеи газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна 260 Дж/(кг>К). Найти мо­лярную массу газа и его удельные теплоемкости Cv и с_р. 132- Ю-³ кг/моль; 650 Дж/(кг-К); 910 Дж/(кг-К)]

61

дельными пластинками с площадью поверхности 5 = = 100 см² каждая, расположенными на расстоянии / = = 20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.

276. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диа­метром канала d=l мм на высоту Л = 20 мм. Определить поверхностное натяжение а глицерина. Считать смачива­ние полным.

277. В воду опущена на очень малую глубину стек­лянная трубка с диаметром канала d= 1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.

278. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р₀, если диаметр пузыря d = 5 мм?

279. Воздушный пузырек диаметром d = 2,2 мкм нахо­дится в воде у самой ее поверхности. Определить плот­ность р воздуха в пузырьке, если воздух над поверх­ностью воды находится при нормальных условиях.

280. Две капли ртути радиусом г=1,2мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.