§ 1.6. Вероятность местоположения микрочастицы

До сих пор речь шла о движении свободной частицы и о волне де Бройля (1.2.5) или волновом пакете (1.4.9), с которыми связыва­лось это движение. Отметим, что только в специальных и притом идеализированных случаях состояние частицы описывается плоскими монохроматическими волнами. В общем же случае оно задается неко­торой сложной (вообще говоря, комплексной) функцией координат час­тицы и времениt. Эту функцию принято обозначать гре­ческой буквой "пси" (ψ или Ψ) и называть ее пси-функцией час­тицы:

. (1.6.1)

В современной физической литературе для обозначения функции (1.6.1) широко используют термин волновая функция частицы.

На основании статистической интерпретации пси-функции полагают, что вероятность местонахождения (локализации) частицы определя­ется интенсивностью этой функции, т.е. квадратом Ψ. Имея в виду, что в общем случае Ψ может быть комплексной величиной, а вероят­ность должна быть всегда действительной и неотрицательной, примем за меру интенсивности не , а, гдеобозна­чает функцию, комплексно сопряженную Ψ (во всех дальнейших обоз­начениях "звездочка" будет означать комплексно сопряженную величину),

Координаты частицы меняютcя непрерывно, поэтому, как и в клас­сической статистике, более корректно ставить вопрос о вероятности найти частицу в малой окрестности точки . Рассматривая бес­конечно малую область, можно считать Ψ внутри нее постоянной, а поэтому вероятность найти частицу пропор­циональна объемуэтой области.

Обозначив элементарную вероятность найти частицу в объеме dV в окрестности точки в момент времениt через , запишем статистическую интерпретацию пси-функции в виде равенства

. (1.6.2)

Величину

(1.6.3)

называют плотностью вероятности.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме dV, согласно теореме сложения вероятностей, составляет

(1.6.4)

Если произвести интегрирование в бесконечных пределах, мы получим полную вероятность нахождения частицы в момент t где-нибудь в пространстве. Это вероятность достоверного события, поэ­тому положим ее равной единице и из (1.6.4) получим равенство

. (1.6.5)

Условие, выражаемое этой формулой, называют нормировкой, а функцию Ψ, удовлетворяющую ему, нормированной.

Следует отметить, что не для всякой функции Ψ удается сфор­мулировать условие нормировки в такой простой форме; интеграл, взя­тый в бесконечных пределах от , может оказаться расходящимся. В условиях реального эксперимента движение даже свободных частиц всеuда происходит в ограниченной области пространства, задаваемой гео­метрическими размерами установки и конечной скоростью частицы. Поэтому вероятность найти ее всегда отлична от нуля лишь в конечной области пространства, а пси-функция, описывающая состояние частицы, должна быть интегрируема. Однако в некоторых случаях с целью упро­щения математической записи формул приходится прибегать к идеализа­ции, которая приводит к неинтегрируемым функциям. Примером может служить волна де Бройля (1.2.5), описывающая, как мы это увидим в дальнейшем, состояние свободной частицы с точно определенным импуль­сом.

23