§ 1.4. Волновые пакеты Фазовая и групповая скорости

В § 1.2 в соответствии с идеей де Бройля мы связали со сво­бодно движущейся частицей, обладающей энергией Е и импульсом р, волну вида

(1.4.1)

Рассмотрим основные свойства этой волны. Для упрощения формул выберем направление ее распространения вдоль оси Ох; тогда вместо (1.4.1) имеем

(1.4.2)

Найдем скорость перемещения в пространстве поверхностей постоянной фазы (для волны (1.4.2) они представляют собой плос­кости, перпендикулярные оси Ох). Зафиксируем определенное значение фазы, например

(1.4.3)

Из (1.4.3) видно, что с течением времени координата х поверхности фазы φ₀ растет. Значение производной определяет скорость перемещения в пространстве поверхностей постоянной фазы, т.е. фазовую скорость волны

(1.4.4)

Подставив в (1.4.4) выражения (1.2.2), получим, что . Так как скоростьV частицы не может быть больше скорости света в вакууме, то фазовая скорость волны де Бройля оказывается больше с, т.е. . Полученный результат не должен нас смущать, поскольку фазовая скорость волны не измеряется на опыте: эта скорость не ха­рактеризует ни скорости сигнала, ни скорости переноса энергии.

Значительную сложность представлял вопрос о пространственной локализации частицы в рамках волнового описания ее движения (необходимость волнового описания принимается нами как экспериментальный факт). Волны де Бройля (1.4.2) или в общем слу­чае (1.4.1) неограниченно простираются во все стороны в простран­стве и существуют неограниченное время, не имея, так сказать, ни начала, ни конца. Свойства этих волн везде и всегда одинаковы: постоянны их амплитуда и частота, неизменны расстояния между волно­выми поверхностями и т.д. С другой стороны, и этому учит экспери­мент, в известных условиях микрочастицы ведут себя как обычные клас­сические частицы, т.е. позволяют проследить перемещение со временем вдоль определенных траекторий.

Для того чтобы выйти из создавшегося положения, частицам стали сопоставлять не монохроматические волны де Бройля, а наборы волн с близкими частотами (или, что то же, с близкими волновыми числами). Покажем, что с помощью набора (суперпозиции) волн де Бройля можно осуществить волновой процесс, в котором амплитуда всюду обращается в нуль, за исключением небольшой области пространства. Эту область можно попытаться связать с местоположением частицы.

Итак, в рамках волнового подхода сопоставим частице так называемый волновой пакет, образованный непрерывной совокупностью монохроматических плоских волн де Бройля с импульсами , заклю­ченными в интервале. Ширину интервалаΔр уточним впоследствии, здесь же предположим, что она значитель­но меньше "несущего" импульса р, отвечающего центру интервала: . Для простоты вычислений будем считать одинаковыми амплитуды складываемых волн, так что амплитуда волны с импульсомравна.

Суперпозиция волн дается интегралом по всем отдельным состав­ляющим волнам вида (1.4.2):

. (1.4.5)

Нетрудно видеть, что фазовые соотношения между складываемыми волнами таковы, что максимум результирующей волны достигается в точке с координатой x = 0 в момент времени t = 0 и равен A.

Для вычисления интеграла в (1.4.5) удобно перейти к новой пе­ременной интегрирования , отсчитываемой от центра интервалар, т.е. . Легко видеть, что, а об­ласть изменения.

Воспользовавшись сильным неравенством , разложим энергиюв ряд повозле средней точки(или). Мы при этом получим

(1.4.6)

По смыслу разложения первый член в правой части выражения (1.4.6) дает значение энергии, отвечающей центру интервала импульсов , а производные, вычисляемые в точке, равны

Ограничимся пока нулевым и линейным членами разложения (1.4.6). Подставив их в (1.4.5) и перейдя к переменной , получим

(1.4.7)

(мы вынесли из-под знака интеграла экспоненту с фазой, не завися­щей от ). Интеграл в (1.4.7) равен

(1.4.8)

(на заключительном этапе вычислений мы воспользовались известной формулой ).

Подставив (1.4.8) в (1.4.7), получим окончательное выражение для результирующей волны:

(1.4.9)

Выражение (1.4.9) состоит из двух сомножителей. Один из них, представляет собой бегущую монохроматическую волну де Бройля с энергией и импульсом, отвечающим центру набора импульсов. Амплитуда результирующей волны (1.4.9) модулируется вторым сомножителем:

(1.4.10)

где смысл обозначения очевиден:

. (1.4.11)

Ввиду того что β пропорциональна малой величине Δр, выра­жение (1.4.10) медленно меняется со временем t и координатой х. Собственно, именно это обстоятельство и позволяет рассматривать выражение как амплитуду результирующей волны.

На рис. 1.5 представлен график этой амплитуды. Наибольшее зна­чение имеет центральный максимум, он достигается в точке β = 0. Остальные максимумы гораздо меньше и достаточно быстро (~ 1/β) убывают к периферии.

-4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π β

Рис. 1.5

Определим координату х точки пространства, в которой результирующая амплитуда максимальна. Эту точку называют центром волнового пакета. Из формулы (1.4.11) и условия β = 0 видно, что центр пакета с координатой

перемещается в пространстве с постоянной скоростью

, (1.4.12)

называемой групповой скоростью.

Воспользовавшись формулой, выражающей энергию релятивистской частицы через ее импульс, из (1.4.12) получим

(1.4.13)

Интересно отметить, что для фотонов в вакууме (m = 0) фазовая и групповая скорости совпадают и равны: .

Приведем выражение для групповой скорости для нерелятивистской частицы (). В этом случае, как известно, и

. (1.4.14)

Формулы (1.4.13) и (1.4.14) выражают важный физический резуль­тат: групповая скорость волнового пакета из волн де Бройля равна скорости частицы V.

Обратимся теперь к выражению (1.4.11) и проанализируем характер пространственного распределения волнового пакета. Произведя "момен­тальную" фотографию", например, в момент t = 0, получим, что

(1.4.15)

Поскольку пакет практически сосредоточен в области центрального максимума шириной (рис. 1.5), для пространственного раз­мера пакета получим оценку:

. (1.4.16)

Из соотношения (1.4.16) следует, что для образования волнового пакета заданной протяженности Δх интервал импульсов образующих его волн де Бройля Δр должен удовлетворять условию . Отсюда, в частности, следует, что для создания пакета с малой про­странственной протяженностьюΔх необходимо располагать монохро­матическими волнами с широким интервалом импульсов Δр.

Полученный результат легко обобщается на случай трехмерного пакета. Приведенные выше соображения справедливы для любой из трех осей координат, поэтому для образования волнового пакета с размерами по осям координат необходимо выполнение условий

, (1.4.17)

где определяют необходимые ширины интервалов соответствующих проекций импульсов монохроматических волн де Бройля.

Аналогичным образом можно исследовать временную протяженность пакета. Полагая х = 0 в (1.4.11), найдем, что

(1.4.18)

Проведя рассуждения, подобные тем, что привели нас к соотноше­нию (1.4.16), получим

(1.4.19)

Здесь Δt имеет смысл времени прохождения пакета шириной Δx мимо точки с координатой x = 0.

На первый взгляд, сопоставление волнового пакета (1.4.9) частице приводит в свете соотношений (1.4.16) и (1.4.19) к парадок­сальным результатам. Действительно, необходимость, с одной стороны, в волновом описании движения частицы (экспериментальный факт), а с другой - требование ее пространственной локализации в конечной области пространства Δx с неизбежностью ведут к тому, что частица не характеризуется определенным импульсом. Однако этот парадокс кажущийся и заключается в новом, отличном от классического, способе измерения импульса, а также в свойствах самих волн. В соответствии с формулой де Бройля (1.2.4) импульс частицы дается соотношением , и требует для своего определения измерения с помощью классических приборов длины волныλ волнового процесса, сопостав­ляемого частице.

Рис. 1.6

В случае монохроматической волны де Бройля (1.2.5) точно оп­ределены как длина волны, так и импульс частицы. Однако в такой волне ввиду ее неограниченной пространственно-временной протяжен­ности и одинаковости всех ее свойств пространственное расположение частицы везде и всегда оказывается совершенно неопределенным.

Как это уже отмечалось выше, необходимость ответа на вопрос о пространственной локализации частицы в рамках волнового описания заставляет нас прибегнуть к волновым процессам конечной протяжен­ности, например в форсе волнового пакета, описывающего состояние частицы в некоторый момент времени (рис. 1.6).Теперь положение час­тицы определено существенно лучше, хотя по-прежнему сохраняется некоторая неопределенность в ее координате x порядка простран­ственной длины пакета Δx.

Зададимся вопросом: можем ли мы (а если да, то с какой точ­ностью) говорить об импульсе частицы, связанной с таким пакетом?

Очевидно, что ответ на вопрос заключается в возможности измерения длины волны волнового пакета на рис. 1.6. Так как этот пакет име­ет конечную протяженность, то он уже не является монохроматической волной с определенной длиной волны λ₀. Разумеется, результат из­мерения окажется близок к λ₀, но тем не менее пакету будет от­вечать некий набор длин волн. Приведем грубую оценку ширины этого набора. Для этого подсчитаем полное число периодов, укладываю­щихся на длине интервала Δx. Если это число равно n, то по определению длины волны, мы найдем ее значение:

(1.4.20)

Однако, как это видно из рис. 1.6 число n невозможно опреде­лить точно, так как на концах пакета существует неопределенность порядка периода, связанная с невозможностью точного установле­ния его границ. Разумеется, если числоn достаточно велико, то относительная ошибка, связанная с неопределенностью в один период мала. Однако эта неопределенность всегда присутствует и в соответ­ствии с выражением (1.4.20) приводит к конечной ширине Δλ набора длин волн:

(1.4.21)

Если теперь воспользоваться формулой де Бройля (1.2.4), то неопределенность импульса частицы

(1.4.22)

Мы вновь пришли к результату, сформулированному выше в виде соотношения (1.4.16).

Отметим, что рассуждения, приведшие нас к условию (1.4.22), носят в основном иллюстративный характер, поскольку основаны на анализе конкретного волнового процесса. Соотношение же (1.4.16) в применении к квантовой частице имеет принципиальный характер и реализуется и в тех случаях, когда состояние частицы задается волновой функцией в виде пакета конечной протяженности Δx, но с точно обрезанными границами и без какой-либо неопределенности на его концах.