3. Пространство c0.
c0 {(x1 ,..., xn ,...) xn 0, n }
Докажем, что (c0 ) l1
Пусть ek |
(0,...,0,1,0,...) |
|
|
k |
|
Тогда любой элемент из c0 |
представляется |
|
в виде ряда |
|
|
xk ek |
|
|
|
k 1 |
|
причем ряд сходится по норме пространства c0
n |
|
|
|
|
x xk ek |
|
sup |
xk |
0, n |
k 1 |
|
k n |
||
Пусть f (c0 )
|
|
|
|
Тогда f (x) |
f ( xk ek ) xk |
f (ek ) xk yk |
|
|
k 1 |
k 1 |
k 1 |
Покажем, что y ( y1 ,..., yk ,...) l1
Полагая x( n ) (sign y ,..., sign y |
,0,...) c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеем |
yk |
f (x( n ) ) |
|
f |
|
|
|
x( n ) |
|
|
|
|
f |
|
|
||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит |
yk |
|
|
f |
|
и ряд сходится |
|||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что y ( y1 ,..., yk ,...) l1
формула f (x) xk yk
k 1
определяет линейный ограниченный функционал на пространстве c0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
( |
yk |
) max |
xk |
|
yk |
|
|
x |
|
c0 |
|
k 1 |
k |
|
k 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значит, функционал корректно определен
и ограничен, причем |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
yk |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k 1 |
|
4.Пространство l1.
(l1 ) l m
5.Пространство lp.
(lp ) lq
6. Пространство Lp[a,b].
(Lp [a,b]) Lq [a,b]
§…Сопряженные операторы.
Пусть X, Y – банаховы пространства, A : X→ Y ограниченный линейный оператор.
По функционалу f Y
построим новый функционал g X
по формуле g(x)=f(Ax).
Линейность функционала g следует из линейности функционала f и оператора A. (почему?)
Более того, из неравенства
g(x) f ( Ax) 
f 
Ax
f 
A
x
следует, что g – ограниченный функционал и выполняется неравенство:
g 
A
f 
Получаем отображение:
A :Y f g X
Определение 1. Сопряженным оператором
к линейному ограниченному оператору
A : X→Y называется оператор A :Y X действующий по формуле:
A f (x) f (Ax)
В случае гильбертовых пространств действие функционала на вектор можно интерпретировать как скалярное произведение. Тогда формула, определяющая сопряженный оператор, имеет вид: (A f , x) ( f , Ax)
Теорема 1. Оператор |
|
|
X |
|
|
A :Y |
|
|
сопряженный к линейному ограниченному оператору A : X→Y является линейным ограниченным, причем 
A 
A
Линейность сопряженного оператора проверяется непосредственно. (проверим…)
А по доказанному выше неравенству имеем
|
g |
A f |
A f |
|
A |
A |
Докажем обратное неравенство:
для произвольного x X пусть y Ax
Тогда по следствию 2 теоремы Хана-Банаха
существует функционал |
f Y |
такой, что |
|
f 
1, f ( y) 
y
Тогда |
f ( y) f ( Ax) |
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Ax |
|
|
|
f ( Ax) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A f (x) |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
Таким образом, мы получили отображение сопряжения, действующее из L(X,Y) в L(Y',X').
Отметим свойства этого отображения:
1)линейность;
2)изометричность;
если X=Y, то дополнительно справедливы свойства (3), (4):
3)I'X= IX ;
4)(AB)'=B'A' ;
5)если оператор A обратим, то также обратим A' и (A')-1=(A-1)'
Теорема 2. Пусть X, Y – банаховы пространства и A : X→Y является линейным ограниченным оператором. Тогда замыкание его образа совпадает с множеством векторов y, удовлетворяющих условию f(y)=0 для любого функционала f из Y' такого, что A'f = 0.
Пусть L Ker f (Ker A )
A f 0
множество векторов y, удовлетворяющих условию теоремы.
Как пересечение замкнутых векторных подпространств L – замкнутое подпространство.
Пусть y Im A и A f 0
Тогда f ( y) f (Ax) A f (x) 0 Im A L
L замкнуто, поэтому Im A L
Докажем обратное включение L Im A Предположим противное, то есть что существует вектор
y0 L такой что y0 Im A
Тогда по следствию 3 теоремы Хана-Банаха существует функционал f0
такой, что f0 ( y0 ) 0
f0 ( y) 0 y Im A
Тогда A f0 (x) f0 ( Ax) 0
и условие y0 L означает f0 ( y0 ) 0
Из полученного противоречия и следует нужное включение и, значит, совпадение множеств:
Следствие 1. Для того, чтобы уравнение Ax=y имело решение необходимо, а если образ ImA замкнут, то и достаточно, чтобы f(y)=0 для любого функционала f, удовлетворяющего однородному сопряженному уравнению A'f=0.
Следствие 2. Для того, чтобы уравнение Ax=y имело решение для любого y из Y необходимо, чтобы уравнение A'f=0 имело только нулевое решение.
Im A Y y Y, f Ker A : f ( y) 0
f 0
Следствие 3.Уравнение A'f=0 имеет единственное решение тогда и только тогда, когда Im A Y