Определение 3. Пусть X – нормированное векторное пространство. Полунормой на X называется такое отображение p: X →R, которое удовлетворяет условиям:
p(x) 0
p( x) p(x)
p(x y) p(x) p( y)
Пример. X=C[0,1]. |
pt |
(x) x(t) |
|
Докажите, pt – полунорма.
Теорема 1 (Хана-Банаха). Пусть X –
векторное пространство над R, p – полунорма на X,
L0 – векторное подпространство в X и на L0 задан линейный функционал f0, удовлетворяющий условию:
f0 (x) p(x) x L0
Тогда существует линейный функционал f : X →R такой, что: f (x) f0 (x) x L0
f (x) p(x) x X
f (x) p(x) f (x) p(x) почему?
Поэтому достаточно доказать существование продолжения, удовлетворяющего условию
f (x) p(x)
Пусть x1 L0
L1 { x1 x x L0 , R} подпространство в X
Построим продолжение f1 функционала f0 на подпространство L1 .
f1 ( x1 x) f1 (x1 ) f1 (x) f1 (x1 ) f0 (x)
Поэтому для определения f1 достаточно
задать число c=f1 (x1). Причем c необходимо подобрать так, чтобы
выполнялось условие:
f1 ( x1 x) p( x1 x) или
с f0 (x) p( x1 x) x L0 , R0 :
c p(x1 x / ) f0 (x / )
0 :
p( x1 x / ) f0 ( x / ) c
Покажем, что существует постоянная c, удовлетворяющая обоим условиям.
Пусть y , y L0
f0 ( y ) f0 ( y ) f0 ( y y ) p( y y )
p( y x1 ) p( y x1 )
p( y x1 ) f0 ( y ) p( y x1 ) f0 ( y )
Положим:
c sup[ p( y x1 ) f0 ( y )]
y L0
c inf [ p( y x1 ) f0 ( y )]
y L0
Из неравенства (выделено желтым) следует
c c
Значит, можно выбрать c так, чтобы
c c c
Тогда c удовлетворяет обоим условиям и функционал f1 определенный выше на подпространстве L1 удовлетворяет условию подчинения:
f1 ( x1 x) p( x1 x)
Пусть y1, y2, …,yn… – счетное всюду плотное множество в X, состоящее из линейно независимых векторов (то есть X – сепарабельное пространство). Все элементы yn, не принадлежащие L, занумеруем в последовательность x1, x2, …,xn…. Пусть Ln – подпространство, порожденное L и элементами x1, x2, …,xn. Тогда функционал f0 может быть последовательно продолжен с сохранением нормы на подпространства L1, L2, …,Ln и далее. В результате получим продолжение
исходного функционала на множество Ln
n
которое является всюду плотным подпространством в X.
И, наконец, по теореме о продолжении
функционал продолжаем на все пространство X с сохранением нормы.
В том случае, когда X – не сепарабельное пространство, для доказательства теоремы Хана-Банаха необходимо использовать лемму Цорна: если в упорядоченном множестве всякое линейно упорядоченное подмножество ограничено сверху, то в X существует хотя бы один максимальный элемент.
Рассмотрим множество всех продолжений функционала f0, сохраняющих норму. Это множество пар вида (L , f ) и т.д.
Теорема 2 (Хана-Банаха в классической формулировке, над полем R). Пусть X –
нормированное векторное пространство над R, L0 – его векторное подпространство. Пусть на L0 задан линейный ограниченный функционал f0 : L0 →R.
Тогда существует линейный ограниченный функционал f : X →R
такой, что является f продолжением f0
и 
f 
f0 
Так как условие ограниченности функционала f0 имеет вид f0 (x) 
f0 
x
то определим полунорму на X:
p(x) 
f0 
x
Теперь применяем теорему 1 и получаем продолжение f функционала f0 на все X такое, что f (x) 
f0 
x
и т.д.
Следствие 1. Пусть x0 0 – точка НВП X. Тогда существует линейный ограниченный функционал f на X такой, что
f (x0 ) |
|
|
, |
|
f |
|
1 |
|
|
x0 |
|
|
|
||||
Следствие 2. Линейные ограниченные функционалы разделяют точки нормированного векторного пространства
X, то есть x1 x2 f X : f (x1 ) f (x2 )
Следствие 3. Пусть L – векторное подпространство нормированного векторного пространства X, x0 – внешняя точка для L. Тогда
|
|
f X : f (x) 0 x L, |
f (x0 ) 0 |
|
|
§…Общий вид линейных ограниченных функционалов
вконкретных пространствах.
1.(Rn ) Rn
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) xk yk ; yk |
f (ek ), {ek } базис |
||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Гильбертово пространство H. |
|||||||||||
По теореме Рисса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f H !u H : f (x) (x,u), |
|
|
|
f |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H H