Metodichka_po_vyshke_1_ch

3

Содержание

Введение в анализ

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика ……… 4

§2. Функции действительной переменной ……………………………… 6

§3. Предел последовательности действительных чисел ……………….. 8

§4. Предел функции. Непрерывность …………………………………… 9

§5. Комплексные числа …………………………………………………... 11

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

§6. Векторная алгебра …………………………………………………….. 14

§7. Линейные геометрические объекты …………………………………. 19

§8. Кривые на плоскости …………………………………………………. 22

§9. Поверхности и кривые в пространстве ……………………………… 26

Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

§10. Определители ………………………………………………………... 29

§11. Матрицы ……………………………………………………………... 32

§12. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы ………… 34

§13. Системы линейных уравнений ……………………………………... 36

§ 14. Линейные операторы в пространстве n …………………………... 40

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§15. Производная …………………………………………………………. 41

§16. Дифференциал ……………………………………………………….. 45

§17. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора …... 47

§18. Исследование функций и построение графиков …………………... 50

Список литературы ………………………………………………………... 52

4

Введение в анализ

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика

1. Понятие действительного числа. Из курса элементарной математики известно, что всякое неотрицательное действительное число x представляется бесконечной десятичной дробью

где [x] – наибольшее целое число, не превосходящее x и называемое целой частью числа x , xn {0,1,2,...9} для любого n .

При этом дроби, у которых xn =9 для всех n ≥ n0 ( n0 – некоторое нату-

ральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу следующих равенств:

[x],999... =[x]+1,

[x], x1x2...xn0 −1999... =[x], x1x2...(xn0 −1 +1) ( n0 >1, xn0 −1 ≠ 9 ).

Действительное число x рационально, т. е. представимо в виде отноше-

ния mn , m, n , в том и только в том случае, когда дробь (1) периодическая. В

противном случае число x иррационально.

Абсолютной величиной или модулем действительного числа x называется неотрицательное число

x, если x ≥ 0,

x= −x, если x < 0.

Правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса элементарной математики.

2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается лю-

бая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Запись a A означает, что объект a есть элемент множества A (принадлежит множеству A ); в противном случае пишут a A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Запись A B ( A содержится в B ) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B ; в этом случае множество A называется подмножеством множества B . Множества A и B называют равными ( A = B ), ес-

ли A B и B A.

Существуют два способа задания (описания) множеств.

5

а) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1 , a2 , …, an , т. е. записывается в виде

A ={a1,a2 ,..., an}.

б) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T , которые обладают общим свойством α . В этом случае используется обозначение

A ={x T α(x)},

где запись α(x) означает, что элемент x обладает свойством α . Объединением множеств A и B называется множество

A B ={x x A или x B}.

Пересечением множеств A и B называется множество

A ∩ B ={x x A и x B}.

Разностью множеств A и B называется множество

A \ B ={x x A и x B}.

Если, в частности, A – подмножество некоторого универсального множества

T , то разность T \ A обозначается символом A и называется дополнением множества A (до множества T ).

Операции и ∩ естественным образом обобщаются на случай произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств.

Множество X называется счётным, если может быть установлено вза- имно-однозначное соответствие между элементами этого множества и элемен-

мальным) элементом множества X , если M X и для всякого x X выполняется неравенство x ≤ M . Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента m = min X множества X .

Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число a такое, что x ≤ a для всех x X . Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X . для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества

6

X и обозначается символом sup X . Очевидно, sup X = max X тогда и только тогда, когда sup X X .

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества X ; последняя обозначается символом inf X .

Множество X , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. 4. Логическая символика. При записи математических рассуждений целесообразно применять экономную символику, используемую в логике. Ука-

жем несколько наиболее простых и употребительных символов.

Пусть α , β , … – некоторые высказывания или утверждения, т. е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать истинно оно или ложно.

Запись α означает «не α », т. е. отрицание утверждения α .

Запись α β означает: «из утверждения α следует утверждение β » (

– символ импликации).

Запись α β означает: «утверждение α эквивалентно утверждению β », т. е. из α следует β и из β следует α ( – символ эквивалентности).

Запись α β означает «α и β » ( – символ конъюнкции). Запись α β означает «α или β » ( – символ дизъюнкции). Запись

x X α(x)

означает «для всякого элемента x X истинно утверждение α(x)» ( – кван-

тор всеобщности).

Запись

x X α(x)

означает «существует элемент x X такой, что для него истинно утверждение

α(x)» ( – квантор существования).

Если элемент x X , для которого истинно утверждение α(x), не только существует, но и единствен, то пишут:

!x X α(x).

§ 2. Функции действительной переменной

1. Понятие функции. Пусть D – произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу x D поставлено в соответствие некоторое вполне определённое действительное число f (x), то говорят, что на множестве

7

D определена числовая функция f . Множество D называется областью определения, а множество

E ={y y = f (x), x D}

– множеством значений числовой функции f . Символически функция записывается в виде f : D → E или y = f (x).

Наиболее распространённым является аналитический способ задания функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления значений функции f (x) для каждого из значений ар-

гумента x . В этом случае область определения функции обычно не указывают, понимая под нею то множество значений аргумента x , для которого данная

h(x)= g (f (x)), x X .

Функция f (x) называется чётной (нечётной), если её область определения симметрична относительно точки x = 0 и f (−x)= f (x) ( f (−x)= − f (x)).

Функция f (x) называется периодической, если существует положительное число T (период функции) такое, что x D (f (x +T )= f (x)).

2. Элементарные функции. Следующие функции называются основны-

ми элементарными.

1. Степенная функция: y = xα , α .

y = arctg x , y = arcctg x .

8

Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.

Графиком функции y = f (x) называется множество

где 2 – множество всех точек плоскости.

На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Oxy график функции представляется множеством точек M (x, y), ко-

ординаты которых удовлетворят соотношению y = f (x) (графическое изображение функции).

§ 3. Предел последовательности действительных чисел

1. Понятие последовательности. Последовательностью действительных чисел называется функция f : → , определённая на множестве всех нату-

ральных чисел. Число f (n) называется n -м членом последовательности и обозначается символом xn , а формула xn = f (n) называется формулой общего члена последовательности (xn )n .

сама последовательность называется сходящейся.

Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность (xn )n имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер

бого числа Ε > 0 существует номер N (Ε) такой, что при n > N (Ε) выполняет-

ся неравенство xn > Ε. Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то используется запись

lim xn = +∞ ( lim xn = −∞).

n→∞ n→∞

9

Число a называется предельной точкой последовательности (xn )n , если для

любого ε > 0 найдётся бесконечное число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию xn − a <ε .

Принцип БольцаноВейерштрасса. Всякая ограниченная после-

довательность имеет хотя бы одну предельную точку.

ло A(ε )> 0 такое, что f (x)− a <ε , как только x > A(ε ).

В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:

где e = 2,71828... – основание натуральных логарифмов.

Наряду с введённым выше понятием предела функции используют также

10

вводится понятие одностороннего предела на бесконечности ( lim f (x) и

x→+∞

2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция α(x) называется

рядка. В частности, при C =1 бесконечно малые α(x) и β (x) называют экви-

валентными и пишут α β .

б) Если C = 0 , то α(x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем β (x), и пишут α = o(β). Если при этом существует действительное

рядка r относительно β (x).

Функция α(x) называется бесконечно большой при x → x0 , если

lim α(x)= ∞. Подобно тому, как это сделано выше для бесконечно малых, вво-

x→x0

дится понятие сравнимых бесконечно больших и их классификация.

3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция y = f (x) с областью определения D называется непрерывной в точке x0 , если выполнены следующие три условия:

а) функция y = f (x) определена в точке x0 , т. е. x0 D ;

б) существует lim f (x);

x→x0

в) lim f (x)= f (x0 ).

x→x0

если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны следующему:

lim f (x0 , x)= 0 ,

x→0

где

f (x0 , x)= f (x0 + x)− f (x0 )