Metodichka_po_vyshke_1_ch

Тогда число λ называется собственным числом линейного оператора A , а вектор x – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу λ .

Векторное равенство (15) эквивалентно матричному равенству

Отсюда следует, что число λ есть собственное число оператора A в том и только в том случае, когда det (A −λE ) = 0 , т. е. λ есть корень многочлена

p(λ) = det (A −λE ), называемого характеристическим многочленом оператора

A . Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу λ , есть некоторое ненулевое решение системы (16).

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 15. Производная

y = f (x) в точке x0 , соответствующее приращению аргумента x . Производ-

ной 1-го порядка (или первой производной) функции y = f (x) в точке x0 называется предел

называются соответственно левой и правой производными функции y = f (x) в точке x0 . Для существования производной f ′(x0 ) функции y = f (x) в точке x0

42

необходимо и достаточно, чтобы её левая и правая производные в этой точке существовали и совпадали, т. е.

f−′(x0 )= f+′(x0 ).

Производная функции f (x), рассматриваемая на множестве тех точек,

где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций.

1.(xa )′ = axa−1 , a ≠ 0 .

2.(ax )′ = ax ln a , a > 0; (ex )′ = ex .

3.(loga x)′ = loga e 1x , a > 0, a ≠1; (ln x)′ = 1x .

4.(sin x)′ = cos x .

5.(cos x)′ = −sin x .

6.(tg x)′ = cos12 x .

7.(ctg x)′ = −sin12 x .

Тогда:

1.(C )′ = 0 .

2.( f + g )′ = f ′+ g′.

3.(Cf )′ = Cf ′.

4.( fg )′ = f ′g + fg′.

z = g (f (x)) в точке x0 имеет производную, равную

z′(x0 )= g′(y0 ) f ′(x0 )

(правило дифференцирования сложной функции).

Логарифмической производной функции y = f (x) называется производ-

ная от логарифма этой функции, т. е.

(ln y)′ = yy′ .

Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной.

2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметриче-

Для вычисления производной функции y = f (x) следует тождество (1) про-

дифференцировать по x (рассматривая левую часть как сложную функцию x ), а затем полученное уравнение разрешить относительно f ′(x).

Если x = f −1 (y) – функция, обратная к y = f (x), то

При неявном задании функций, а также для сложных функций для производной используется также обозначение типа y′x там, где необходимо уточнить,

по какой переменной ведётся дифференцирование. Пусть заданы функции

называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (3). Дифференцируя (4) по x и используя правило дифференцирования обратной функции (2), получаем

3. Производные высших порядков. Производной 2-го порядка от функ-

ции y = f (x) называется производная от её первой производной, т. е.

y′′(x)=(y′(x))′.

Вообще, производной n -го порядка (или n -й производной) называется произ-

водная от производной порядка (n −1), т. е.

y(n) (x)=(y(n−1) (x))′, n = 2,3,...

d n y

Для производной n -го порядка используется также обозначение dxn .

Пусть u (x) и v(x) имеют производные до n -го порядка включительно. Тогда для производной n -го порядка их произведения u (x)v(x) справедлива формула Лейбница

Если x =ϕ(t ), y =ψ (t ), то y′′xx вычисляется по формуле

4. Геометрические и механические приложения производной. Значе-

ние производной f ′(x0 ) функции y = f (x) в точке x0 равно угловому коэффи-

45

циенту k = tg ϕ касательной к графику этой функции, проведённой через точку

Прямая, проходящая через точку касания M0 перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции y = f (x) в этой точке. урав-

смысл первой и второй производных).

§ 16. Дифференциал

1. Дифференциал первого порядка. Функция y = f (x) называется диф-

ференцируемой в точке x0 , если её приращение y(x0 , x) может быть представлено в виде

необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f ′(x0 ); при этом справедливо равенство A = f ′(x0 ).

Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную.

Выражение для дифференциала имеет вид

46

dy(x0 , x)= f ′(x0 )dx ,

где принято обозначение dx = x . Из формулы (5) следует, что если f ′(x0 )≠ 0 , то при x →0 приращение функции и её дифференциал dy в фиксированной

точке являются эквивалентными бесконечно малыми, что позволяет записать приближённое равенство:

функций y = y(x) и z = z (y), то

dz (x,dx)= z′y (y)dy(x,dx),

т. е. выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz (x,dx)= z′x (x)dx . Это утверждение называется инвариантностью формы 1-

го дифференциала.

ференциал от dy(x, 1x) при x = 2 x :

d (dy(x, 1x)) x, x=Δ2 x = f ′′(x) 1x 2 x .

Значение полученного выражения при 1x = 2 x = dx называется вторым диф-

ференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции y = f (x) и обознача-

ется символом d 2 y(x,dx). Таким образом,

d 2 y = f ′′(x)dx2 .

Аналогично

47

d 3 y = d (d 2 y)= f ′′′(x)dx3 ,

… … … … … … … …

d n y = d (d n−1 y)= f (n) (x)dxn .

Дифференциалы 2-го и более высоких порядков не обладают инвариантностью формы, свойственной дифференциалам 1-го порядка.

§ 17. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

1. Теоремы о среднем.

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема при x (a,b) и f (a) = f (b), то существует по крайней мере одна точка ξ (a,b) такая, что f ′(ξ) = 0 .

Точки, в которых f ′(x) = 0 , называются стационарными точками функции f (x).

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b]

идифференцируема при x (a,b), то существует по крайней мере одна точка

ξ(a,b) такая, что

f (b)− f (a) = f ′(ξ) (b − a) (формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы при x (a,b) и g′(x) ≠ 0 для всех x (a,b), то существует по крайней мере одна точка ξ (a,b) такая, что

малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке x = a , и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределённость

типа 00 или соответственно ∞∞ . Однако это отношение может иметь предел в

точке x = a , конечный или бесконечный. нахождение этого предела называется раскрытием неопределённости. Одним из способов раскрытия неопределённо-

48

стей типа 00 и ∞∞ является правило Лопиталя-Бернулли, основанное на сле-

дующей теореме, носящей их имя.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности U точки x = a функции f (x) и ϕ(x) дифференцируемы всюду. кроме, может быть, самой точки

x = a , и пусть ϕ′(x)≠ 0 в U . Если функции f (x) и ϕ(x) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при x → a и при

этом существует предел отношения ϕf ′′((xx)) их производных при x → a , то то-

f (x)

гда существует также и предел отношения ϕ(x) самих функций, причём

Правило применимо и в случае, когда a = ∞.

В некоторых случаях раскрытие неопределённостей вида 00 или ∞∞ мо-

жет потребовать неоднократного применения правила Лопиталя-Бернулли.

На каждом этапе применения правила Лопиталя-Бернулли следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов.

Раскрытие неопределённостей типа 0 ∞ и ∞ −∞. Для вычис-

ления lim f (x)ϕ(x), где f (x) – бесконечно малая, а ϕ(x) – бесконечно боль-

x→a

шие при x → a (раскрытие неопределённостей типа ∞ −∞), следует преобразо-

ренную выше.

49

Раскрытие неопределённостей типа 00 , ∞0 , 1∞ . Во всех трёх случаях имеется в виду вычисление предела выражения ( f (x))ϕ(x) , где f (x)

есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае – бесконечно большая, в третьем случае – функция, имеющая предел, равный единице. Функция же ϕ(x) в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае

– бесконечно большой.

Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно y =(f (x))ϕ(x) , получаем равенство

и находим предел ln y , после чего находится и предел y . Во всех трёх случаях ln y в силу (6) является неопределённостью типа 0 ∞, метод раскрытия которой изложен выше.

3. Формула Тейлора. Если функция y = f (x) имеет производные до (n +1)-го порядка включительно в некоторой окрестности Uδ (a)={x x − a <δ}

точки a , то для всякого x Uδ (a) справедлива формула Тейлора (порядка n )

f (x)= f (a)+ f ′1!(a)(x − a)+ f ′′2!(a)(x − a)2 +... + f (nn) !(a)(x − a)n + Rn+1 (x),

(остаточный член в форме Лагранжа). Таким образом, формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y = f (x) в виде суммы многочлена

n -й степени и остаточного члена. В частности, при a = 0 имеем

(формула Маклорена).

Формула Тейлора широко используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вычислить зна-

50

чение функции f (x) в точке x0 с абсолютной погрешностью, не превосходя-

щей ε , если известно значение этой функции и её производных в точке a . Из формулы Тейлора следует, что

f (x0 )≈ f (a)+ f ′1!(a)(x0 − a)+ f ′′2!(a)(x0 − a)2 +... + f (nn0 )0 (!a)(x0 − a)n0 ,

где n0 – минимальный из номеров n , для которых

Rn+1 (x0 ) <ε .

Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в форме Пеано

Rn+1 (x)= o(x − a n ),

использование которой полезно при вычислении пределов.

§ 18. Исследование функций и построение графиков

1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция y = f (x)

называется возрастающей (убывающей) в интервале (a,b), если из неравенства

разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности отделён критическими точками, в которых f ′(x)= 0 или f ′(x)

точка этой функции.