Metodichka_po_vyshke_1_ch

33

Матрица AT называется транспонированной к матрице A , если выполняется условие aijT = aji для всех i , j , где aij и aijT – элементы матриц A и AT соответственно.

Квадратная матрица B называется симметричной, если BT = B . Квадрат-

ная матрица C называется кососимметричной, если CT = −C .

2. Обратная матрица. Квадратная матрица A называется вырожденной

(особенной), если её определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной)

в противном случае. Если A – невырожденная матрица, то существует, и при-

том единственная матрица A−1 такая, что AA−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все осталь-

ные элементы равны нулю). матрица A−1 называется обратной к матрице A . Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.

Метод присоединённой матрицы. Присоединённая матрица A* определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A (см. формулу (4)). Таким образом,

Справедливо равенство A* A = AA* = det A E . Отсюда следует, что если A

– невырожденная матрица, то

A−1 = det1 A A* .

Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Для данной матрицы A n -го порядка построим прямоугольную матрицу

ΓA =(A E ) размера n ×2n , приписывая к A справа единичную матрицу. Далее,

используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу ΓA к виду (E B), что всегда возможно, если A невырождена. Тогда B = A−1 .

34

§ 12. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы

1. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность из n действительных (комплексных) чисел называется действительным (комплекс-

ным) арифметическим вектором и обозначается символом x =(x1, x2 ,..., xn ).

Числа x1 , x2 , … , xn называются компонентами арифметического вектора x . Над арифметическими векторами вводятся следующие операции.

Сложение: если x =(x1, x2 ,..., xn ), y =(y1, y2 ,..., yn ), то

Умножение на число: если λ – число (действительное или комплексное) и x =(x1, x2 ,..., xn ) – арифметический вектор, то

Множество всех действительных (комплексных) арифметических n - компонентных векторов с введёнными выше операциями сложения (5) и умно-

жения на число (6) называется пространством арифметических векторов (со-

ответственно действительным или комплексным). Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается действительное пространство

арифметических векторов, обозначаемое символом n .

Система арифметических векторов {x1,..., xs} называется линейнозависимой, если найдутся числа λ1 , …, λs , не равные одновременно нулю, такие, что λ1x1 +... +λsxs = 0 (где 0 =(0,...,0) – нулевой вектор). В противном слу-

чае эта система называется линейно-независимой.

Пусть Q – произвольное множество арифметических векторов. Система векторов B=(e1,...,es ) называется базисом в Q , если выполнены следующие условия:

1)ek Q , k =1,2,..., s ;

2)система B=(e1,...,es ) линейно-независима;

3) для любого вектора x Q найдутся числа λ1 , …, λs такие, что

k =1

Формула (7) называется разложением вектора x по базису B. Коэффициенты λ1 , …, λs однозначно определяются вектором x и называются координатами этого вектора в базисе B.

Справедливы следующие утверждения:

35

1) Всякая система векторов Q n имеет по меньшей мере один базис;

при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозначаемого rang Q или r (Q).

2) Ранг всего пространства n равен n и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса n можно взять следующую систему:

e1 =(1,0,0,...,0), e2 =(0,1,0,...,0), e3 =(0,0,1,...,0), ... , en =(0,0,0,...,1). (8)

Этот базис принято называть каноническим.

Зафиксируем произвольный базис B=(e1,...,en ) в пространстве n . Тогда

всякому вектору x можно поставить во взаимно-однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.

Необходимо различать компоненты вектора и его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обозначение, хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с его компонентами только в каноническом базисе.

Линейные операции (5) и (6) над арифметическими векторами в координатной форме выглядят следующим образом:

z = x + y Z = X +Y ( zk = xk + yk , k =1,2,...,n ), y = λx Y = λ X ( yk = λxk , k =1,2,...,n ).

2. Ранг матрицы. Пусть в матрице A размера m ×n выбраны произвольно k строк и k столбцов ( k ≤ min (m,n)). Элементы, стоящие на пересечении

выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k , определитель которой называется минором k -го порядка матрицы A .

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется её рангом, а любой минор порядка r , отличный от нуля, – базисным ми-

нором.

Строки (столбцы) матрицы A размера m ×n можно рассматривать как

систему арифметических векторов из n (соответственно m ).

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов); при этом система строк (столбцов) матрицы, содер-

36

жащая базисный минор, образует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы.

Приведём основные методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k - го порядка M , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k +1)-го по-

рядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k +1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

Метод элементарных преобразований основан на том факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 11) матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме a11 , a22 , …, arr ( r ≤ min (m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r .

Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы арифметических векторов.

§ 13. Системы линейных уравнений

1. Правило Крамера. Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида

a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn =b1, a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn =b2 ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

an1x1 + an2 x2 +... + ann xn =bn ,

или, в матричной форме AX = B , где

2. Решение произвольных систем. Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида

38

ar1x1 + ar 2 x2 +... + arn xn =br ,

которая эквивалентна исходной. Назовём неизвестные x1 , x2 , …, xr базисными, а xr+1 , …, xn свободными и перенесём слагаемые, содержащие свободные неиз-

вестные, в правую часть уравнений (11). Получаем систему относительно базисных неизвестных:

a11x1 +... + a1r xr =b1 − a1,r+1xr+1 −... − a1n xn , a21x1 +... + a2r xr =b2 − a2,r+1xr+1 −... − a2n xn ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ar1x1 +... + arr xr =br − ar,r+1xr+1 −... − arn xn ,

мое по правилу Крамера. Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной систем имеет вид

Формула (12), выражающая произвольное решение системы в виде векторфункции от n − r свободных неизвестных, называется общим решением систе-

мы (9).

3. Однородные системы. Однородная система AX =O всегда совместна, так как имеет тривиальное решение X =O . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r = rang A < n

(при m = n это условие означает, что det A = 0 ).

Пусть Q n – множество всех решений однородной системы. всякий базис в множестве Q состоит из n − r векторов e1 , …, en−r . Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (8)) система вектор-столбцов E1 , …, En−r называется фундаментальной системой решений. Общее решение однородной сис-

39

темы имеет вид X = c1E1 +... + cn−r En−r , где c1 , …, cn−r – произвольные постоян-

ные.

Базисные решения E1 , …, En−r могут быть получены методом, изложен-

ным в п. 2, если свободным неизвестным придавать поочерёдно значение 1, полагая остальные равными 0.

Если задана неоднородная система AX = B , то её общее решение может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы AX =O и произвольного частного решения неоднородной системы.

4. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (9) может быть приведена к виду

Матрица (13) является расширенной матрицей системы

которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел br′+1 , …, bm′ отлично от нуля, то система (14), а

следовательно, и исходная система (9) несовместны.

Если жеbr′+1 =... =bm′ = 0 , то система совместна и формулы (14) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных x1 , …, xr через свободные неизвестные xr+1 , …, xn .

40

рованный базис. Разложим векторы Aek , k =1,2,...,n , по базису B:

Aek = a1ke1 +... + anken , k =1,2,...,n .

Тогда матрица

называется матрицей оператора A в базисе B.

Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: если y = Ax , то Y = AX , где X , Y – столбцы координат векторов x , y и A – матри-

ца оператора A в базисе B.

Над линейными операторами вводятся следующие операции:

а) сложение операторов: (A + B)x = Ax + Bx ; при этом оператор A + B

имеет матрицу A + B ;

б) умножение операторов на числа: (λA)x = λ(Ax); при этом оператор

λA имеет матрицу λA;

в) умножение операторов: (AB)x = A(Bx); при этом оператор AB имеет

отображение. Оператор A имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным) в том и только в том случае, когда его матрица A невырождена (в

любом базисе); при этом оператор A−1 имеет матрицу A−1 , обратную к матрице

A .

2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть число λ и вектор x n , x ≠ 0, таковы, что