Metodichka_po_vyshke_1_ch

то требуются дополнительные исследования.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (x) на дан-

ном отрезке [a,b] достигается или в критических точках, или на концах этого

отрезка.

2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифференцируе-

мой функции y = f (x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале (a,b), если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведённой к графику функции y = f (x) в любой точке x (a,b).

Если же на интервале (a,b) всякая касательная располагается выше дуги

кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется

выпуклым вверх (или вогнутым вниз).

Если функция дважды дифференцируема на (a,b) и f ′′(x) > 0 ( f ′′(x)< 0 ), то её график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых f ′′(x) = 0 , либо f ′′(x) не

существует. Точка (x0 , f (x0 )), в которой направление выпуклости графика

функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f (x)

x0 – точка перегиба.

52

3. Асимптоты. Пусть для функции y = f (x) существует такая прямая, что расстояние от точки M (x, f (x)) графика функции до этой прямой стремит-

ся к нулю при бесконечном удалении точки M от начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.

Если при этом координата x точки M стремится к конечному числу a , то полупрямая x = a ( y > 0 либо y < 0 ) является вертикальной асимптотой. Для

существования вертикальной асимптоты в точке x = a необходимо и достаточ-

но, чтобы хотя бы один из пределов lim f (x) был равен бесконечности.

x→a±0

Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Если же координата x точки M стремится к +∞ или −∞ , то имеем наклонную асимптоту y = kx +b , для существования которой необходимо и дос-

таточно существование двух пределов

При этом указанные пределы могут быть различными при x → +∞ (для правой наклонной асимптоты) и при x → −∞ (для левой наклонной асимптоты).

4. Построение графиков функций. Для построения графика функции y = f (x) с непрерывной второй производной (всюду в области определения

функции кроме, может быть, конечного числа точек) сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые особенности функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Oy , точки разрыва и т. п. Затем, используя первую и вторую про-

изводные, находим точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпуклости, а также асимптоты.

Список литературы

1 Высшая математика: Общий курс: учебник / Под ред. С. А. Самаля. –

Минск : Выш. шк., 2000. – 351 с.

2 Гусак, А. А. Высшая математика: учебник / А. А. Гусак. – 4-е изд. – Минск : ТетраСистемс, 2003. – Т. 1. – 544 с.

3 Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – 5-е изд. – Минск : ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

4 Жевняк, Р. М. Высшая математика. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебник / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Выш.

шк., 1992. – 384 с.

5 Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / В. А. Болтов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова и Б. П.

Демидовича. – 2-е изд. – М. : Наука, 1986. – Т. 1. – 464 с.

53

6 Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник / В. С. Шипачев. – 7-е

изд. – М. : Высш. шк., 2005. – 479 с.