1

cos x 1 5 ctg x

lim 5 cos x 1

1

cos x 1

lim(cos x)5 ctg x

1)

ex 0

tg x

(1) lim 1 (cos x

x 0

x 0

sin2

x

2 x

2 lim

2

x

1 1

2sin

5 lim

x 0

x2

2 2 2

0

5 lim

2

x 0

lim tg x

5

e0 1.

e

x 0

tg x

e

x 0

x

e

1

2

Задача 10. Исследовать на непрерывность функцию

f x 7

и

x 3

определить тип точек разрыва, если они есть.

Решение

Функция f (x)

определена

и

непрерывна

на всей

числовой оси,

2

2

2

7

1

lim 7

x 3

7

3 0 3

7

0

0,

7

x 3

:

x 3 0

2

2

2

7 ,

lim 7

x 3

7

3 0 3

7

0

x 3 0

f (x) . Поэтому в точке x 3

Следовательно,

lim f (x) 0 , а

lim

x 3 0

x 3 0

2

2

2

70

2

2

2

70 1.

lim 7

x 3

7

3

7

1, lim 7

x 3

7

3

7

x

x

31

y

8

6

4

2

-2

0

2

4

6

x

x 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

Функции

f (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка, если

lim

f (x)

A,

A 0,

A const .

(x)

Находим

x a

2 sin2 9 x

1 cos9x

0

1 cos 2 2 sin2 ,

lim

2

lim

2

3x

0

9x.

3x

2

x 0

x 0

9

9

2

lim

sin 2 x

lim

sin

2 x

lim sin kx

k

2

9

9

27 .

x

3

x 0

x

x 0

x 0

x

3 2

2 2

Поскольку

27

0 , то при x 0 функции

1 cos9x и 3x2

являются

2

бесконечно малыми одного порядка малости.

Задача 12. Вычислить предел lim

ln(1 x)

, используя таблицу

arcsin(x2

x)

эквивалентностей.

x 0

при (x) 0

ln(1 x)

0

lim

(x)) (x),

arcsin (x) (x).

arcsin(x

2

x)

0

ln(1

x 0

lim

x

lim

x

lim

1

1

1.

x2 x

(x 1)

1 x

1 0

x 0

x 0 x

x 0