Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

10-iz_02_vvedenie.v.matematicheskij.analiz.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

410.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

27	lim	x3 8	;
		tg(x 2)
	x 2
28	lim	tg(x 3)	;
	x 3	x2 9

29 lim e4 x 1; x 0 tg 2x

30 lim arcsin 2x ln 2.

x 0 2 3x 1

4 Методические указания

Задача 1. Доказать, что lim a

a , если a

, a 2 .

Решение

n 7

a 2 будет пределом последовательности

По определению число

, если для

0 найдется натуральное число N , такое, что для

n 7

всех

выполняется

неравенство

| an a | . Поскольку

n N

2n 2n 14

| a a |

, то

n 7

14 n

14 7 .

Таким образом, по заданному

указано соответствующее значение

N int

1. Это доказывает, что число 2 есть предел рассматривае-

мой последовательности, то есть lim

2 .

n n 7

Допустим 10 3 , тогда N

7 14 103 7 14000 7 13993.

10 3

Задача 2. Вычислить пределы числовой последовательности

а) lim

(2n 1)2 (n 1)3

;

б)

lim

n 6 n 5 32n10

;

n2 n 1

n 4 n 3 n3 1

в) lim

(n2 5)(n4 2)

n6 3n3

;

4n2

4n 1

1 2n

г) lim

2n 3

Решение

а) lim

(2n 1)2 (n 1)3

lim

n3 n2 n

n 1

Наивысшая степень n		,
Наивысшая степень n	«3». Чтобы раскрыть неопределенность	,

разделим числитель и знаменатель дроби на n3 :

n3 n2 n

1 n

lim

n2 n 1

lim( 1) lim 1						lim	1		1		1 0 0		1
n				n n		n n2		lim	1	0, ( 0)	1 0 0		1	.
		1			1		1	lim		0, ( 0)	0 0 0		0	.
lim		1	lim		1	lim	1	n n			0 0 0		0
lim			lim			lim
n n				n n2		n n3
				n 6 n 5		32n10 1						n
б)	lim								.	Наибольшая степень			«2». Чтобы
б)	lim			n 4 n		3 n3 1			.	Наибольшая степень			«2». Чтобы
	n			n 4 n		3 n3 1

раскрыть неопределенность , делим на n2 , учитываем поднесение под радикал:

	n 6 n		1 5	32n10 1				1		5		32			1
							n5/6								n10
lim	n2		n2		lim													.

	n 4 n
n				3 n3 1	n					1			3			1
						1			n		3/4			1		n	3
		n		n

	1	Используем								свойства							пределов						и		учитываем,				что
lim	1		0	0 , тогда
lim			0	0 , тогда
n n
					1			5		32	1						lim		1	5		lim32 lim				1
						n5 / 6		5		32	n10						lim			5		lim32 lim
			lim			n5 / 6					n10						n n5 / 6					n		n n10
			lim						1												1						1
			n						1			1									1						1
					1					3 1						lim1 lim							3	lim1	lim
					1		n		3 / 4	3 1		n	3			lim1 lim					3 / 4		3	lim1	lim			3
							n					n				n			n n					n	n n
													0		5		32 0			2	2.
												(1		0)			3 1 0			1	2.
												(1		0)			3 1 0			1
					(n2		5)(n4 2)								n6		3n3	5
		в) lim																					.
		в) lim									n												.
			n								n
		Чтобы раскрыть неопределенность
		Чтобы раскрыть неопределенность																				, воспользуемся формулой

(a b)(a b) a2 b2 . Для этого умножим и числитель, и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:

lim

(n2 5)(n4 2)

n6 3n3

(n2

n6 3n3 5

lim

5)(n4 2)

n6 3n3

(n2

5)(n4

(n2 5)(n4 2)

n6 3n3

lim

(n2

5)(n4

2) 2

n6 3n3 5 2

n6 3n3 5

n n

(n2 5)(n4 2)

lim

(n2 5)(n4

2) n6

3n3

n n

(n2 5)(n4 2)

n6 3n3

lim

5n4 3n3 2n2 5

n6 3n3 5

n n

(n2 5)(n4 2)

Наибольшая степень n «4», делим на n4 , учитывая поднесение под

радикал, получаем

lim

n6 3n3 5

n n

(n2

5)(n4

5 3

lim

n 1 5

1 3

5 3 0 2 0 5 0

5 .

1 5 0 2 0 10 0

1 3 0 5 0

4n2 4n 1

1 2n

г) lim

. Находим предел дроби:

4n2 4n 1

4 n

4 4 0 0

lim

4n2 2n 3

4 2 0 3 0

4 2

Следовательно, получили неопределенность вида

. Для нахож-

e .

Для того, чтобы

дения предела воспользуемся формулой lim 1

		26
	1	, прибавим и отнимем единицу:
представить дробь в виде 1		, прибавим и отнимем единицу:
	n

4n2 4n 1

4n2

4n 1

4n2

4n 1 4n2

2n 3

4n2 2n 3

4n2 2n

2n 4

4n2 2n 3

Искомое выражение можем записать в виде

4n2 2n 3

2n 4

(1 2n)

4n2 2n 3

2n 4

lim

10n 4

4n2

2n 3

lim

2n 3

Задача 3. Доказать (найти ( ) ), что

lim

x 72

17 .

x 8

Решение

x 8

x2 x 72

Число 17 является пределом функции

при x 8 , если

x 8

для 0

существует число ( ) 0

x , удовле-

такое, что при всех

творяющих

условию

0 | x 8 | ,

выполняется

неравенство

x2 x 72

x 8

Зададим 0. Находим

x2 x 72

x2 x 72 17x 136

16x 64

(x 8)2

| x 8 |,

x 8

то есть выражение

эквивалентно выражению | x 8 | .

Следовательно,

для 0

существует такое число 0 , что

при всех x , удовлетворяющих условию 0 | x 8 | ,

выполняется нера-

венство

x2 x 72

Следовательно,

x2 x 72

lim

17 , ( ) .

x 8

Задача 4. Найти предел

lim

3x2

22x 35

2 3x

Решение

x 5

3x2

22x 35

3 25 22 5 35

lim

3x 35

2 25 3 5 35

x 5

Получили неопределенность		0		. Если и числитель, и знаменатель
Получили неопределенность		0		. Если и числитель, и знаменатель
		0

дроби многочлены, то необходимо разложить их на множители. Для этого решаем уравнения.

3x2 22x 35 0 ,

		x		22			222 4 3 35												22 8					x					5 ,	x	7	.
	1,2						2 3														6							1		2	3
							2 3														6										3
Поскольку						многочлен												можно							представить							в		виде
ax2 bx c a(x x )(x x ) , где x																	,		x – корни уравнения ax2												bx c 0 ,
						1					2				1					2
то запишем 3x				2	22x 35							3(x 5)									7		(x 5)(3x 7) .
то запишем 3x					22x 35							3(x 5)				x					3		(x 5)(3x 7) .
																					3
Аналогично решаем уравнение 2x2 3x 35 0 .
			x 3					9 4 2 35										3 17 x 5 , x 7 .
				1,2						2 2												4			1				2	2
										2 2												4					7			2
Следовательно,							2x		2		3x 35 2(x 5)																7			5)(2x 7) . Под-
Следовательно,							2x				3x 35 2(x 5)													x			2		(x	5)(2x 7) . Под-
																											2
ставим полученные разложения в искомое выражение:
lim	3x2 22x 35						lim					(x 5) (3x 7)											lim			3x 7				3( 5) 7			8	.
lim	2x2 3x 35						lim					(x 5) (2x 7)											lim			3x 7				3( 5) 7				.
x 5	2x2 3x 35							x 5				(x 5) (2x 7)											x 5			2x 7				2( 5) 7 17
Задача 5. Найти предел lim															x3			4x2 3x 18										.
Задача 5. Найти предел lim															x3			5x2 3x								9		.
Решение													x 3		x3			5x2 3x								9
Решение
	3				2	3x	18						3					2		3		3 18						0
lim		x	4x			3x	18						3 3	4 3						3		3 18						0	.
lim		3	2			3x 9							3 3						2	3 3 9								0	.
x 3 x			5x			3x 9							3	5 3						3 3 9								0
Получили						неопределенность													вида					0		.		Поскольку многочлены
Получили						неопределенность													вида					0		.		Поскольку многочлены
																								0
x3 4x2	3x 18 и x3						5x2					3x 9						при x 3 обращаются в нуль,															то они,
согласно теореме Безу, делятся без остатка на x 3 :

_ x3 4x2 3x 18

x 3

_ x3 5x2 3x 9

x 3

x3 3x2

x2 x 6

x3 3x2

x2 2x 3

_ x2 3x 18

_ 2x2 3x 9

x2 3x

2x2 6x

_ 6x 18

_ 3x 9

6x 18

3x 9

x3 4x2 3x 18

x2 x 6

32 3 6

Следовательно, lim

lim

3x 9

x 3

3 2

Снова

получили

неопределенность

Поскольку

многочлены

x2 x 6 и

x2 2x 3 при

x 3 обращаются в нуль,

следовательно, они,

согласно теореме Безу, делятся без остатка на x 3 :

_ x2 2x 3

x 3

_ x2 x 6

x 3

x2 3x

x 1

x2 3x

x 2

_ x 3

_ 2x 6

x 3

2x 6

Получаем

x 6

x 2

lim

3 2

2x 3

x 1

3 1

x 3

Задача 6. Найти предел lim

3x 1 3 5x 3

1 3x 2x 2

Решение

x 1

3x 1 3

5x 3

lim

2x 2

x 1

Чтобы раскрыть неопределенность, надо и числитель, и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному. Для чис-

лителя иррациональным будет выражение 3 (3x 1)2		3	3x 1 3 5x 3
3 (5x 3)2	(формула a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ), для		знаменателя –
1 3x	2x 2 (формула a2 b2 (a b)(a b) ).

3x 1 3

5x 3

lim

1 3x

2x 2

x 1

lim

3 3x 1 3 5x 3

3 (3x 1)2 3 3x 1 3 5x 3 3 (5x 3)2

1 3x 2x 2

3 (3x 1)2 3 3x 1 3 5x 3 3 (5x 3)2

1 3x 2x 2

x 1

1 3x 2x 2

lim

(3x 1) (5x 3)

1 3x 2x 2

x 1 (1 3x) (2x 2) 3 (3x 1)2 3 3x 1 3 5x 3 3 (5x 3)2

lim

x 1

		2 (x 1)			1 3x 2x 2													2			1 3 1 2 1 2						1,68.
(x 1) 3		(3x 1)2	3		3x 1 3			5x 3 3 (5x 3)2										2			3 22 3			2 3		2 3 22	1,68.
Задача 7. Найти предел lim											1 cos5x .
Решение								x 0			2x sin 2x
Решение
	1 cos5x				1 cos 0						0
lim	2x sin 2x											.
lim				2 0 sin 0							0	.
x 0				2 0 sin 0							0
Проведем преобразования:																				5					5
																				5					5
										2		5					sin			2	x		sin		2	x
		1 cos5x					2 sin					2	x							2					2
	lim	1 cos5x		lim								2		lim					x					x
	lim	2x sin 2x		lim				x sin 2x						lim							sin 2x
	x 0	2x sin 2x			x 0 2			x sin 2x							x 0						sin 2x
														5		5						x
														5		5
						lim sin kx k									2	2			25 .
															2	2

						x 0			x					2					8

Задача 8. Найти предел lim cos x x 1 . x 1 x 3

Решение

Поскольку lim f (x) ( x)

lim ( x)

, то

lim f (x) x a

x a

lim

cos x x 1

cos x x 1 x 1

cos

1 1

lim

x 3

x 1

x 3

x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
29.02.2016410.78 Кб1810-iz_02_vvedenie.v.matematicheskij.analiz.pdf
#
29.02.2016456.12 Кб2210-pr_opred_matrix_slau.pdf
#
29.02.2016518.7 Кб11510-pr_vvedenie_v_matematicheskij_analiz.pdf
#
29.02.2016610.16 Кб19Metodichka_po_vyshke_1_ch.pdf
#
29.02.2016736.65 Кб23Metoditchka_Vyshka_ch2.pdf