20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , если |
|
|
||||
1 |
|
|
|
x |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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||||
30 a) f x 114 x ; |
б) |
f x |
|
|
|
; |
в) |
f x tg x, если |
0 x |
|
, |
|||||
|
x2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
|
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|
|
|
если x |
. |
|
|
||
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|
2, |
4 |
|
|
|||
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3 Бесконечно малые
3.1 Доказать, что функции f (x) и (x) при x 0 являются
бесконечно малыми одного порядка малости
1f (x) 1 cos8x ,
2f (x) 4 x 2 ,
3f (x) arcsin 3x ,
4f (x) sin2 3x ,
5f (x) tg5x ,
6f (x) 9 x 3 ,
7f (x) arcsin 3x ,
8f (x) sin8x sin 2x ,
9 |
|
|
x3 |
|
|
f (x) 5 |
x |
, |
|||
|
|||||
10f (x) cos5x cos 7x ,
11f (x) 1 cos8x ,
12f (x) sin(x2 2x) ,
(x) 3x2 .
(x) 2x .
(x) sin 6x .
(x) x2 x4 .
(x) arcsin 3x .
(x) 5x .
(x) sin 6x .
(x) 5x .
(x) 2x3 .
x2
(x) x2 .
(x) x sin 4x .
(x) x4 8x .
13 |
f (x) sin 7x sin x , |
||||
14 |
f (x) |
2x5 |
, |
||
3 |
x |
||||
|
|
|
|||
15f (x) 3 1 x 1,
16f (x) arctg2 x ,
17f (x) 3x x2 ,
18f (x) 7x ,
19f (x) cos x cos3 x ,
20f (x) cos x cos5x ,
21f (x) sin 5x ,
22f (x) arctg3x ,
23f (x) 2x2 3x ,
24f (x) sin2 3x sin2 x ,
25f (x) 1 cos2 x ,
26f (x) arcsin 5x ,
27 f (x) |
|
x2 |
, |
|
7 |
x |
|||
|
|
28f (x) 16 x 4 ,
29f (x) tg2 4x ,
30 f (x) x |
1 cos 4x , |
21
(x) 2x .
(x) x5 .
(x) 3x .
(x) 3x2 .
(x) |
5x |
. |
|
3 x |
|||
|
|
(x) arctg3x .
(x) 6x2 .
(x) 2x2 .
(x) arctg 2x .
(x) ln(1 2x) .
(x) arctg 6x .
(x) x2 .
(x) x tg x .
(x) x2 x .
(x) 3x3 x2 .
(x) sin 2x .
(x) sin2 3x .
(x) sin2 x .
22
3.2 Вычислить предел, используя таблицу эквивалентностей
1 |
lim |
|
cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim |
|
|
|
x sin x |
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
(arctg 2x)2 |
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
x |
|
|
|
||
3 |
lim |
1 x2 |
|
; |
|||||||||||
ln(1 x) |
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||
4 |
lim |
|
|
4x2 1 |
|
; |
|||||||||
|
|
arcsin(1 |
2x) |
||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
lim |
|
|
sin(x 3) |
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
x2 4x 3 |
|
|
|
||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg 7x |
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
lim |
|
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
e 2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
7 |
lim ln cos x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
lim ln x 1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x e |
|
x e |
|
|
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
lim |
|
2 |
x |
tg x |
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
lim |
ex |
e x |
; |
|
|
|
|
|
||||
sin 2x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
lim arcsin12x |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
ln(1 4x) |
|
|
|
|
|
||||||
12 |
lim |
1 cos10x |
; |
|
|
||||||||
|
e |
x |
2 |
1 |
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13 |
lim |
|
arcsin 2x |
|
|
|
; |
|
|||||
ln(e x) 1 |
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
||||||||||
14 |
lim ln(1 sin x) |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15 |
lim |
2x |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 2x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16 |
lim |
arcsin 3x |
|
|
; |
|
|
|
||||||||
2 x |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17 |
lim |
1 cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
(e3x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18 |
lim |
ln(x2 1) |
; |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19 |
lim cos 4x cos6x ; |
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20 |
lim |
ex e |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21 |
lim |
2cos2 x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
lim |
arctg x2 |
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
x 0 |
arcsin 3x sin |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
23 |
lim |
ex e x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
24 |
lim |
ln x3 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25 |
lim |
1 cos6x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
x sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26 |
lim |
sin(x 5) |
|
; |
|
|
|
|
||||||||
x2 8x 15 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||