Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_5

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
355.18 Кб
Скачать

Интегралы вида R x,max b dx приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки t max b .

Пример 1.17. Найти интеграл

3

 

x

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

x

 

 

Решение. Показателями степеней корней являются числа 3 и 2. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому применим подстанов-

ку x t6 .

Тогда

 

 

dx 6t5dt,

3

 

 

x

t2 ,

3

 

x2

 

 

t4 ,

 

 

 

 

 

 

x

 

 

t3 .

В результате

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

6t

5

dt 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

6

 

 

 

 

dt . В подынте-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

4

t

3

 

t

3

(t 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

гральной функции выделим целую часть:

 

t4

 

 

 

 

 

t4 1 1

 

 

 

t4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

1 t2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

t 1

+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(t 1)(t 1) t2

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(t 1) t2 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t3 t2

t 1

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

dx =

t 1

t 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

t4

 

 

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

6

 

 

 

 

 

 

 

dt =6

 

 

t

 

 

t

 

t 1

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ln

t 1

 

C

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

4 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

={подставим 6

 

 

 

 

вместо t }=

 

6

x4

 

 

 

6

 

x3

 

 

 

 

 

 

6

x2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ln

6

 

 

x

1

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3x2 x 3x 6x ln6x 1 C . 4 3 2

1.4.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

При нахождении интегралов sin ax cosbxdx , cos ax cosbxdx,

sin ax sinbxdx подынтегральные функции из произведений преобра-

зовываются в суммы с помощью формул:

11

sin ax cosbx

 

1

sin(a b)x sin(a b)x ;

2

 

 

cosax cosbx

 

1

cos(a b)x cos(a b)x ;

2

 

 

 

sin ax sinbx

1

cos(a b)x cos(a b)x .

2

 

 

 

 

При интегрировании таких функций удобно пользоваться формулами

sin axdx

1

 

cos ax C

и cos axdx

1

sin ax C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры 1.18 – 1.20. Найти интегралы а) sin3x cos5xdx;

б) cos3 xdx ;

 

 

 

 

в)

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x sin xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) Так как sin3x cos5x

1

 

sin(3 5)x sin(3 5)x =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

=

( sin 2x sin8x) , то sin3x cos5xdx=

 

( sin2x sin8x)dx=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

cos 2x

 

 

 

 

cos8x

 

 

cos 2x

 

 

cos8x

C ;

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

4

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) cos3

 

 

xdx = cos2

x cos xdx= 1 sin2

 

x cos xdx={применим

подстановку t sin x , тогда dt cos xdx}= 1 t2 dt =t

t3

 

C =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=sin x

 

 

 

 

 

C

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) cos2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

x sin4 x sin xdx =

 

 

 

 

 

 

x sin

xdx= cos2

 

= cos2

x sin2 x 2

sin xdx= cos2

x 1 cos2 x sin xdx ={ применим

подстановку t cos x, тогда dt sin xdx, sin xdx dt}=

 

= t2 1 t2 2 ( dt)= t2 1 2t2 t4 dt = t2 2t4 t6 dt =

 

t3

 

 

t5

 

 

 

 

 

t7

 

 

 

cos3

x

 

2cos5

x

cos7 x

 

=

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

C =

 

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

7

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Задания для самостоятельной работы

1) Найти неопределённые интегралы непосредственным интегрированием:

а)

в)

д)

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

3sin x 1 dx;

б)

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

dx ;

 

x

4

 

x

5

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

x

3

 

cos

2

 

5

dx

; г)

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx

;

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos3 x 85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

xex

 

 

 

е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Найти неопределённые интегралы, используя метод замены

переменной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

(3x 4)100 dx ;

 

 

б) cos(7x 3)dx ;

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

 

г)

 

 

 

 

 

dx;

 

 

д) x x2 5dx ;

 

е) x2ex3 4dx ;

ж)

e

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

7 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx;

и)

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Найти неопределённые интегралы интегрированием по частям:

а)

xe2xdx;

 

б) xln(x 1)dx;

 

в) arctgxdx;

г) arcsinxdx;

д)

 

ln x

dx ;

е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ln xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Найти интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

sin2 3xdx; б)

 

cos4 xdx;

в)

cos2 xsin2 xdx ;

 

 

г)

cos3 xsin2 xdx;

 

 

д)

 

x3

dx ;

е)

 

2x 7

dx;

 

 

 

 

x 2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

 

; з)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

2. Определённый интеграл

2.1. Определённый интеграл и его основные свойства

Пусть функция y f (x) определена на отрезке [a,b]. Выполним следующие действия.

Разобьём отрезок [a,b] точками x0 a, x1, x2 ,… , xn b на n отрезков [x0 ,x1], [x1,x2 ], … , [xn 1,xn ], которые называются частичными.

В каждом частичном отрезке [xi 1,xi ] произвольно выберем

точку ci [xi 1,xi ], вычислим значение функции в этой точке f (ci ) и произведение f (ci ) xi , где xi xi xi 1.

 

n

 

 

Если существует предел lim f (ci ) xi ,

который не зависит

 

n i 1

 

ни от

способа разбиения отрезка [a,b], ни

от выбора точек

ci [xi 1,xi ], то он называется определённым интегралом от функ-

ции y f (x) на отрезке [a,b]и обозначается

b

n

f (x)dx

lim f (ci ) xi .

a

n i 1

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегри-

рования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, вы-

ражение f (x)dx

- подынтегральным выражением, x переменной

интегрирования, [a,b]

- отрезком интегрирования.

 

Пусть

на

отрезке [a,b] задана непрерывная

функция

y f (x) 0.

Фигура,

ограниченная сверху графиком

функции

y f (x), снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется кри-

волинейной трапецией.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Основными свойствами определённого интеграла являются:

14

Постоянный множитель можно выносить за знак определённо-

b b

го интеграла, т.е. kf(x)dx k f (x)dx;

aa

Определённый интеграл от алгебраической суммы непрерыв-

ных на отрезке [a,b] функций f (x) и g(x) равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

b b b

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ;

a a a

Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит знак на противополож-

b a

ный, т.е. f (x)dx f (x)dx;

ab

Если пределы интегрирования равны между собой, то опреде-

a

лённый интеграл равен нулю, т.е. f (x)dx 0;

a

Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной

b

b

b

интегрирования, т.е. f (x)dx

f (t)dt

f (u)du …;

a

a

a

Если отрезок интегрирования [a,b] разбит на две части [a,c] и

 

c

b

[c,b] и если существуют интегралы

f (x)dx и f (x)dx , то

 

a

c

b

c

b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

a

a

c

Для вычисления определённых интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

b

f (x)dx F(x) ba F(b) F(a),

a

где F' (x) f (x) , т.е. F(x) - любая первообразная функция для

f (x).

15

2.2. Методы вычисления определённых интегралов

При вычислении определённых интегралов используются методы

непосредственного интегрирования, замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение дан-

ного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

2

Примеры 2.1 – 2.5. Вычислить интегралы: а) xdx; б) sin xdx;

1

в) exdx;

0

1 0

3

1

 

 

2

 

1

 

г)

 

dx ;

д)

dx .

1 x

2

4

0

 

 

 

1

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

2

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

1

2

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) xdx=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

 

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 cos ( cos0) 1 1 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

sin xdx= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) exdx=ex

 

e1 e0 e 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

dx =arctgx

0

 

 

3

arctg0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

5

 

д)

 

 

 

 

dx

= x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

1

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Метод замены переменной в определённом интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b];

функция x (t) определена на отрезке [ , ] и имеет на нём непрерывную производную;

16

( ) a, ( ) b.

b

Тогда определённый интеграл f (x)dx может быть вычислен с

a

помощью введения новой переменной и при этом справедлива форму-

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ла f (x)dx f ( (t)) ' (t)dt . Часто вместо замены

 

x (t) применя-

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ют обратную замену t (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

Пример 2.6. – 2.8. Вычислить интегралы: а)

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

1 4xdx ; в) sin2 xcos xdx.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) Выполним замену t x 1,

dt dx. Вычислим пре-

делы интегрирования для переменной t:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

 

2

 

 

 

 

1

1

 

 

2

1

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

dx=

dt lnt

 

ln2 ln`1 ln2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x 1

1

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Выполним замену t 1 4x и продифференцируем обе части

равенства:

dt 4dx ,

dx

dt

 

. Изменим пределы интегрирования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

1

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

В результате

1 4xdx =

 

 

 

 

 

 

t 2 dt

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

4

4

9

 

 

4

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

(1 27)

 

 

4

 

 

 

 

6

 

 

 

 

9

6

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

17

6

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) В данном случае выполним замену t sin x , тогда dt cos xdx. Для переменной t вычислим пределы интегрирования:

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

t

3

 

 

1

 

 

 

Получим sin2

xcos xdx= t2dt

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функции u u(x) и v v(x) имеют непрерывные произ-

водные на отрезке [a,b]. Тогда для определённого интеграла справед-

b b

лива формула интегрирования по частям udv uv ba vdu.

 

 

a

a

 

 

 

2

Примеры 2.9. – 2.10. Вычислить интегралы: а)

xcos xdx;

 

 

 

 

2

ln x

 

 

б)

dx .

 

5

 

1 x

 

Решение. а) Положим u=x, тогда du=dx. Оставшуюся часть подынтегрального выражения примем за dv: dv cos xdx. Проинтегриру-

ем это выражение: dv cos xdx, v sin x. Тогда по формуле интег-

2

2

рирования по частям получим xcos xdx= xsin x

 

2

sin xdx =

 

 

 

2 sin2 sin ( cos x) 2 cos x 2 cos2 cos 1 ( 1) 2.

б) Положим

u=lnx,

dv

1

dx.

Тогда

du

1

dx,

dv

1

dx ,

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

v x 5dx ,

v

x 4

 

 

 

1

.

По формуле интегрирования по частям

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ln x

 

 

1

 

 

 

 

 

2

2

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишем

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

ln2

 

 

 

 

5

 

 

4

 

 

 

4

 

 

4

 

 

1

 

x

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

1

1

 

 

4x

 

x

4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

ln2 1

 

 

x 4

 

2

 

ln2 1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1

4

 

 

 

x

5

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

64 4

 

 

 

1

 

64 16 x

 

 

 

1

 

ln2

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ln2

15

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

24

 

 

14

 

 

 

256

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс,

b

равна определённому интегралу от функции f (x) : S f (x)dx. Ес-

a

ли криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то пло-

 

 

 

 

 

 

 

b

щадь такой трапеции вычисляется по формуле:

S f (x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

a

у

 

у

b

 

y = f(x)

 

 

а

 

 

 

0

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 а

b х

 

 

Пусть фигура

ограничена графиками

функций y f1(x) ,

y f2 (x) и прямыми x=a, x=b.

 

 

19

y

0 а

Тогда площадь фигуры,

b

формуле: S f2 (x)

a

y= f2(x)

y= f1(x)

x

b

ограниченной этими линиями, вычисляется по

f1(x) dx .

Пример 2.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия-

ми y x2 x 6, y x 2 0 .

 

Решение. Графиком функции y x2

x 6 является парабола,

ветви которой направлены вверх. Найдём точки пересечения параболы

с осью Ох: x2 x 6 0,

D 1 4 1 ( 6) 25 ,

x 3,

x

2

2 .

 

 

1

 

 

Уравнение прямой y x 2 0 запишем в виде y x 2. Изобразим

эти линии в системе координат и найдём площадь заштрихованной фигуры.

у

-3 -2 0

 

 

 

х

 

2

 

 

 

 

 

 

 

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]