Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

355.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Интегралы вида R x,max b dx приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки t max b .

Пример 1.17. Найти интеграл	3	x		dx .

	3 x2
			x

Решение. Показателями степеней корней являются числа 3 и 2. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому применим подстанов-

ку x t6 .

Тогда

dx 6t5dt,

t2 ,

t4 ,

t3 .

В результате

dx =

dt 6

dt . В подынте-

(t 1)

3 x2 x

t 1

гральной функции выделим целую часть:

t4 1 1

t4 1

1 t2

t 1

(t 1)(t 1) t2

t 1

=(t 1) t2 1

t3 t2

t 1

. Тогда

dx =

t 1

dt =6

t 1

t ln

t 1

4 3 2

={подставим 6

вместо t }=

= 3x2 x 3x 6x ln6x 1 C . 4 3 2

1.4.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

При нахождении интегралов sin ax cosbxdx , cos ax cosbxdx,

sin ax sinbxdx подынтегральные функции из произведений преобра-

зовываются в суммы с помощью формул:


sin ax cosbx		1			sin(a b)x sin(a b)x ;
	2

cosax cosbx		1		cos(a b)x cos(a b)x ;
	2

sin ax sinbx	1		cos(a b)x cos(a b)x .
	2

При интегрировании таких функций удобно пользоваться формулами

sin axdx

cos ax C

и cos axdx

sin ax C .

Примеры 1.18 – 1.20. Найти интегралы а) sin3x cos5xdx;

б) cos3 xdx ;

в)

cos2 x sin xdx.

Решение. а) Так как sin3x cos5x

sin(3 5)x sin(3 5)x =

( sin 2x sin8x) , то sin3x cos5xdx=

( sin2x sin8x)dx=

cos 2x

cos8x

cos 2x

cos8x

C ;

б) cos3

xdx = cos2

x cos xdx= 1 sin2

x cos xdx={применим

подстановку t sin x , тогда dt cos xdx}= 1 t2 dt =t

C =

sin3 x

=sin x

;

в) cos2

x sin4 x sin xdx =

x sin

xdx= cos2

= cos2

x sin2 x 2

sin xdx= cos2

x 1 cos2 x sin xdx ={ применим

подстановку t cos x, тогда dt sin xdx, sin xdx dt}=

= t2 1 t2 2 ( dt)= t2 1 2t2 t4 dt = t2 2t4 t6 dt =

cos3

2cos5

cos7 x

C =

C .

1.5. Задания для самостоятельной работы

1) Найти неопределённые интегралы непосредственным интегрированием:

а)

в)

д)

		3	3														5				4						1
	4x						3sin x 1 dx;								б)	6x	5													5		dx ;
	4x			x		4	3sin x 1 dx;								б)	6x					x		5						2	5		dx ;
				x																	x				1 x
			2				4
		4	2				4									3					1					4
	5x			x		3			cos	2		5		dx	; г)					3							x	dx			;
	5x					3				2		5		dx	; г)					3		x		2			x	dx			;
											x					x						x
															cos3 x 85
2x																			x		3 3
2x			x					xex					е)						x		3 3
										dx;															dx .
																cos	2	x
					x												2
					x

Найти неопределённые интегралы, используя метод замены

переменной:

а)

(3x 4)100 dx ;

б) cos(7x 3)dx ;

в)

2x 3

dx;

ctgx

г)

dx;

д) x x2 5dx ;

е) x2ex3 4dx ;

ж)

dx ;

7 3x

sin

x 3

ln x 1

з)

dx;

и)

dx .

6x 1

Найти неопределённые интегралы интегрированием по частям:

а)

xe2xdx;

б) xln(x 1)dx;

в) arctgxdx;

г) arcsinxdx;

д)

ln x

dx ;

е)

ln xdx .

Найти интегралы:

а)

sin2 3xdx; б)

cos4 xdx;

в)

cos2 xsin2 xdx ;

г)

cos3 xsin2 xdx;

д)

dx ;

е)

2x 7

dx;

x 2

dx .

ж)

; з)

x x

x 1

2. Определённый интеграл

2.1. Определённый интеграл и его основные свойства

Пусть функция y f (x) определена на отрезке [a,b]. Выполним следующие действия.

Разобьём отрезок [a,b] точками x0 a, x1, x2 ,… , xn b на n отрезков [x0 ,x1], [x1,x2 ], … , [xn 1,xn ], которые называются частичными.

В каждом частичном отрезке [xi 1,xi ] произвольно выберем

точку ci [xi 1,xi ], вычислим значение функции в этой точке f (ci ) и произведение f (ci ) xi , где xi xi xi 1.

	n
	Если существует предел lim f (ci ) xi ,	который не зависит
	n i 1
ни от	способа разбиения отрезка [a,b], ни	от выбора точек

ci [xi 1,xi ], то он называется определённым интегралом от функ-

ции y f (x) на отрезке [a,b]и обозначается
b	n
f (x)dx	lim f (ci ) xi .
a	n i 1
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегри-
рования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, вы-


ражение f (x)dx		- подынтегральным выражением, x – переменной
интегрирования, [a,b]			- отрезком интегрирования.
Пусть	на	отрезке [a,b] задана непрерывная		функция
y f (x) 0.	Фигура,		ограниченная сверху графиком	функции

y f (x), снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется кри-

волинейной трапецией.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Основными свойствами определённого интеграла являются:

Постоянный множитель можно выносить за знак определённо-

b b

го интеграла, т.е. kf(x)dx k f (x)dx;

Определённый интеграл от алгебраической суммы непрерыв-

ных на отрезке [a,b] функций f (x) и g(x) равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

b b b

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ;

a a a

Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит знак на противополож-

b a

ный, т.е. f (x)dx f (x)dx;

Если пределы интегрирования равны между собой, то опреде-

лённый интеграл равен нулю, т.е. f (x)dx 0;

Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной

b	b	b
интегрирования, т.е. f (x)dx	f (t)dt	f (u)du …;
a	a	a

Если отрезок интегрирования [a,b] разбит на две части [a,c] и

	c	b
[c,b] и если существуют интегралы		f (x)dx и f (x)dx , то
	a	c
b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a	a	c

Для вычисления определённых интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

f (x)dx F(x) ba F(b) F(a),

где F' (x) f (x) , т.е. F(x) - любая первообразная функция для

f (x).

2.2. Методы вычисления определённых интегралов

При вычислении определённых интегралов используются методы

непосредственного интегрирования, замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение дан-

ного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры 2.1 – 2.5. Вычислить интегралы: а) xdx; б) sin xdx;

в) exdx;

1 0

3	1			2		1
г)			dx ;	д)			dx .
	1 x	2				4
0					1	x
				2

												2				x	2		2		2		2					1	2			1				3
												2					2		2				2						2
				Решение. а) xdx=																										2							;
				Решение. а) xdx=																										2							;
												1			2				1			2				2					2			2
												1							1
													0 cos ( cos0) 1 1 2 ;
б)		sin xdx= cos											0 cos ( cos0) 1 1 2 ;
	0
	1									1
в) exdx=ex										1	e1 e0 e 1;
	0									0
										0


			3		1
			3												3 arctg
г)								dx =arctgx						0										3		arctg0									;
г)					2			dx =arctgx						0										3		arctg0									;
	0			1 x																													3

	2						2										2										2
	2			1			2				4			x 3			2					1					2				1							1		5
д)						dx	= x					dx																												2	.
д)					4	dx	= x					dx		3											3		1						3						3	2	.
		1		x					1									1		3x							1				3 2							1		8
		1		x					1									1		3x											3 2							1		8
	2						2										2									2												3
	2						2										2									2												3
																																						2

Метод замены переменной в определённом интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b];

функция x (t) определена на отрезке [ , ] и имеет на нём непрерывную производную;

( ) a, ( ) b.

Тогда определённый интеграл f (x)dx может быть вычислен с

помощью введения новой переменной и при этом справедлива форму-

b
ла f (x)dx f ( (t)) ' (t)dt . Часто вместо замены												x (t) применя-
a
ют обратную замену t (x) .
									1		1
Пример 2.6. – 2.8. Вычислить интегралы: а)											1		dx;
Пример 2.6. – 2.8. Вычислить интегралы: а)													dx;
									0	x 1
									0

	0				2
б)			1 4xdx ; в) sin2 xcos xdx.
	2				0
Решение. а) Выполним замену t x 1,									dt dx. Вычислим пре-
делы интегрирования для переменной t:

						x		0	1
						t		1	2
1	1			2	1		12
Тогда				dx=		dt lnt		ln2 ln`1 ln2.


0		x 1		1	t
0				1
б)	Выполним замену t 1 4x и продифференцируем обе части

равенства:				dt 4dx ,		dx			dt			. Изменим пределы интегрирования:
равенства:				dt 4dx ,		dx						. Изменим пределы интегрирования:
									4

							x						-2				0
							t						9				1
				0				1								1	1						3		1
																									1

													dt	1						1 t 2
В результате					1 4xdx =								dt	1		t 2 dt				1 t 2
										t
										t												3
				2				9					4	4		9		4				3
1			1	2				9								9					2				9


				1				1						1				13			1
	t	3		1	3			1			3			1				13			1			.
	t				1				9						(1 27)				4					.
6			9	6				6					17	6				3			3
6			9	6				6						6				3			3

в) В данном случае выполним замену t sin x , тогда dt cos xdx. Для переменной t вычислим пределы интегрирования:

		x		0

								2
								2
		t		0				1
							1
2			1		t	3	1	1
Получим sin2	xcos xdx= t2dt				t			1	.
Получим sin2	xcos xdx= t2dt								.
0			0	3			3
							0
							0

Пусть функции u u(x) и v v(x) имеют непрерывные произ-

водные на отрезке [a,b]. Тогда для определённого интеграла справед-

b b

лива формула интегрирования по частям udv uv ba vdu.

		a	a
			2
Примеры 2.9. – 2.10. Вычислить интегралы: а)			xcos xdx;

2	ln x
б)	ln x	dx .
б)	5	dx .
1 x

Решение. а) Положим u=x, тогда du=dx. Оставшуюся часть подынтегрального выражения примем за dv: dv cos xdx. Проинтегриру-

ем это выражение: dv cos xdx, v sin x. Тогда по формуле интег-

2		2
рирования по частям получим xcos xdx= xsin x	2	sin xdx =

2 sin2 sin ( cos x) 2 cos x 2 cos2 cos 1 ( 1) 2.

б) Положим			u=lnx,				dv					1		dx.	Тогда				du		1	dx,		dv		1	dx ,
б) Положим			u=lnx,				dv					5		dx.	Тогда				du			dx,		dv		5	dx ,
												x									x					x
v x 5dx ,	v			x 4					1		.		По формуле интегрирования по частям
v x 5dx ,	v			4					4		.		По формуле интегрирования по частям
				4				4x
2 ln x					1								2	2	1				1				1
2 ln x					1								2	2	1				1				1
запишем			dx =							ln x										dx					ln2
запишем		5	dx =					4		ln x							4			dx				4	ln2
1	x					4x							1	1		4x		x					4 2
1	x					4x							1	1		4x		x					4 2
														18


1				1	2	1				ln2 1			x 4	2	ln2 1	1		2
1				1	2	1				ln2 1			x 4	2	ln2 1	1		2
			ln1					dx
4 1	4		ln1			x	5	dx					4				4
4 1				4	1	x			64 4				4	1	64 16 x			1
ln2		1		1			1		ln2		15	.

64									64
64		16		24		14			64		256

2.3.Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс,

равна определённому интегралу от функции f (x) : S f (x)dx. Ес-

ли криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то пло-

					b
щадь такой трапеции вычисляется по формуле:					S f (x)dx.
					a
у			у		b
	y = f(x)			а	b
	y = f(x)		0			х
			0			х


					y = f(x)

0 а		b х
Пусть фигура		ограничена графиками			функций y f1(x) ,
y f2 (x) и прямыми x=a, x=b.