Практикум. Информационные технологии

Следует отметить, что разложение в ряд справедливо только для того отрезка, на котором строилась таблица значений функции. На другом отрезке возможны другие значения коэффициентов. Например, функцию = sin ( ) можно с достоверностью не менее 99% представить в виде функции

Численное интегрирование

С помощью численных методов вычисляются только определенные интегралы типа

Для успешного применения методов требуется, чтобы подынтегральная функция была непрерывной на всем отрезке интегрирования или имела устранимый разрыв. Для использования в электронной таблице или при табличном задании функции необходимы методы, в которых не требовалось бы вычисление функции в промежуточных точках (между узлами таблицы). Наиболее часто используемыми математическими методами численного интегрирования, подходящими для использования в электронных таблицах и обеспечивающими хорошую точность, являются метод трапеций, методы прямоугольников.

Основная идея рассматриваемых математических методов – замена функции ( ) на некотором интервале линейной функцией (для методов прямоугольников ~ = , для метода трапеций~ + ) с последующим вычислением суммы по всем интервалам.

В зависимости от выбора константы методы прямоугольников разделяют на методы левых, правых и средних прямоугольников. В этих методах полагают значение константы равным значению функции на левой или правой границе интервала или на его середине. Последний случай, очевидно, не подходит для электронных таблиц.

Для методов прямоугольников имеем расчетные формулы

−1( )

Очевидный недостаток математических методов – сложные формулы для оценки точности. Иногда для рассматриваемых методов для грубой оценки точности используют метод двойного просчета - в качестве точности берут | − 2 |. Однако при использовании данного метода для получения хорошей точности может потребоваться многократное интегрирование.

Можно предложить следующий метод, основанный на возможностях электронных таблиц, с достаточно простой оценкой точности. Если известны коэффициенты в приближении функции полиномом, то можно получить следующие формулы для производных и интеграла

Следует отметить, что приближение полиномом справедливо только для того отрезка, на котором строилась таблица значений функции. Поэтому исходный интервал, чаще всего, приходится разбивать на несколько частей. Если верхний предел суммирования не превышает 6, то можно воспользоваться линией тренда. Для этого строят график функции f(x), затем выделяют ряд данных и из контекстного меню выбирают пункт «Добавить линию тренда». В параметрах линии тренда следует указать: Тип

линии – полиномиальный, отметить флажки «Показать уравнение на диаграмме» и «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)». Последний параметр определяет качество приближения (рассчитывается как и в пункте 7) – чем он ближе к 1, тем лучше приближение. Увеличить значение величины достоверности можно, увеличив степень полинома (если она окажется больше 6, то придется исходный интервал разбить на несколько частей). Обычно хорошим можно считать приближение с оценкой качества приближения не менее 95%.

Задачи.

С помощью разных методов 1) вычислить интегралы; 2) получить точность результата 0,01.

−3