Т е м а 2. Вычисление коэффициента корРеляции

и регрессии для малой выборки (n < 30)

Цель занятия. Вычислить коэффициент корреляции и регрессии (r±m_r, R_x/y±m_R) для малой выборки (n < 30), рассчитать критерий достоверности и доверительные границы коэффициента корреляции и регрессии (t_r, t_R).

Содержание и методика. Определение коэффициента корреляции при малом числе наблюдений осуществляется по специальным рабочим формулам (данные для задачи берут из прил. 2–9).

П р и м е р. Необходимо определить величину, направление и силу связи между плодовитостью (x) 10 свиноматок белорусской мясной породы материнской группы и плодовитостью (y) их дочерей по третьему опоросу.

Р е ш е н и е:

1. Данные систематизируем и ранжируем, заполняем статистическую таблицу (табл. 1).

Т а б л и ц а 1. Статистическая обработка и расчет коэффициента

Корреляции между показателями плодовитости свиноматок (гол.) белорусской мясной породы и показателями плодовитости их дочерей по третьему опоросу

Показатели многоплодия матерей				Показатели многоплодия дочерей					ах×ау
x, гол.	отклонение (ах)			y, гол.	отклонение (ау)
	ах =	ах2 =	ау =		ау2 =
1	2	3	4		5	6	7
12	– 0,4	0,16	14		– 0,1	0,01	+ 0,04
16	+ 3,6	12,96	14		– 0,1	0,01	+ 0,36
13	+ 0,6	0,36	15		+ 0,9	0,81	+ 0,54
8	– 4,4	19,36	13		– 1,1	1,21	+ 4,84
11	– 1,4	1,96	11		– 3,1	9,61	+ 1,7
11	– 1,4	1,96	13		– 1,1	1,21	+ 1,21
13	+ 0,6	0,36	16		+ 1,9	3,61	+ 1,14
15	+ 2,6	6,76	15		+ 0,9	0,81	+ 2,34
О к о н ч а н и е т а б л. 1
1	2	3	4		5	6	7
13	+ 0,6	0,36	15		+ 0,9	0,81	+ 0,54
12	– 0,4	0,16	15		+ 0,9	0,81	– 0,36
∑х=124	aх = 0	aх2 =44,4	∑у= 141		aу = 0	aу2 =18,9	aх ау= =+12,35

2. Вычисляем простую среднюю арифметическую по двум признакам:

Среднее значение признака может выражаться дробной величиной, так как находится расчетным путем. Таким образом, многоплодие свиноматок матерей в данном хозяйстве составляет больше 12 голов, а их дочерей превышает 14 голов.

3. Вычисляем отклонение и рассчитываем сумму отклонений, при которой должно получиться равенство а = 0.

Сумма отрицательных значений по отклонению а_х в табл. 1 равна – 8, положительных + 8. Суммируя полученный результат, получаем 0. Это подтверждает правильность заполнения таблицы.

Сумма отрицательных значений по отклонению а_у в табл. 1 равна – 5,5, положительных + 5,5. Суммируя полученный результат, получаем 0. Это подтверждает правильность заполнения таблицы.

4. Возводим отклонение как по первому признаку (х), так и по второму (у) в квадрат и суммируем полученные результаты: а_х² = 44,4; а_у² = 18,9.

5. Заполняем последнюю колонку в табл. 1 и суммируем полученный результат (a_х а_у = + 12,35).

6. Вычисляем средние квадратические отклонения по двум признакам (_х и _у):

7. Вычисляем коэффициенты изменчивости по показателям многоплодия матерей и дочерей (C_vх и C_vу):

Коэффициент изменчивости по показателям матерей находится на высоком уровне (C_vх > 15 %), а изменчивость по плодовитости дочерей – на среднем уровне (8 % < C_vу < 15 %).

8. Рассчитываем коэффициент корреляции для малой выборки. Это можно сделать двумя способами:

(1)

(2)

Воспользуемся для расчетов в нашем примере формулой (1):

Коэффициент корреляции (r = + 0,37) указывает на среднюю по силе и положительную по направлению связь между двумя изучаемыми признаками. Это свидетельствует о том, что при селекции свиноматок по многоплодию будет наблюдаться незначительное повышение многоплодия у свиноматок дочерей.

9. Коэффициент линейной регрессии для малой выборки вычисляем по следующим формулам:

(3)

(4)

Все входящие в формулы величины известны и находятся в табл. 1. Коэффициент регрессии имеет тот же знак, что и коэффициент корреляции (+ или –), но в отличие от него всегда является величиной именованной и выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

Для нашего примера реальный смысл имеет только второй показатель регрессии, который указывает, что при повышении многоплодия у свиноматок матерей на 1 голову у их дочерей плодовитость увеличится примерно на 0,3 головы. Увеличив у матерей на 3 головы плодовитость, среднее многоплодие их дочерей повысится уже примерно на 1 голову.

Коэффициент регрессии дает основу точному количественному прогнозу при исследовании зависимых явлений, что важно в практической племенной работе, зоотехнической и селекционной работе при проведении отбора и подбора животных с целью получения потомства, сочетающего в себе полезные качества в желательном соотношении.

Так, в практике селекции коэффициенты регрессии потомков на родителей (R_{потомок/родитель}; R_{дочь/мать} и др. ) используют непосредственно для выявления ожидаемого эффекта отбора (так называемого прогнозируемого эффекта). Поэтому регрессионный анализ играет важную роль в планировании племенной работы, а также в селекционно-генетических исследованиях.

10. Вычисляем ошибки репрезентативности для коэффициентов корреляции и регрессии (m_r и m_R):

(5)

(6)

11. Для определения достоверности выборочных параметров рассчитаем критерии достоверности как для коэффициента корреляции, так и для коэффициента регрессии:

(7)

(8)

Сверим данные с таблицей Стьюдента (прил. 1). Найденные значения критерия достоверности ниже рекомендуемых табличных данных. Полученные статистические параметры недостоверны. Для уточнения результатов необходимо увеличить объем выборочной совокупности.