Т е м а 6. Дифференциальные уравнения

Обратить внимание на методы решения дифференциальных уравнений первого порядка:

1) с разделяющимися переменными;

2) однородные;

3) линейные.

Усвоить методику нахождения общего и частного решений.

Изучить методы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка со специальной правой частью.

Вопросы для изучения и самопроверки

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

3. Задача Коши.

4. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющи- мися переменными, однородные, линейные.

5. Дифференциальные уравнения второго порядка.

6. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Задачи контрольной работы

В задачах 221–240решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

221..	222. .
223. .	224. .
225. .	226. .
227..	228. .
229. .	230. .
231. .	232. .
233..	234. .
235. .	236. .
237. .	238. .
239..	240. .

Решение типового примера

Разделим уравнение на

Интегрируя, получим общее решение уравнения:

или

В задачах 241 – 260 найти частное решение дифференциального уравнения:

241..	242. .
243..	244. .
245..	246. .
247..	248. .
249..	250. .
251..	252. .
253..	254. .
255..	256. .
257..	258. .
259. .	260. .

Решение типового примера

Уравнение является линейным.

Пусть , тогдаи уравнение преобразуется к виду:

или.

Общее решение . Определим С:

, подставим это значение в общее решение.

Получим частное решение .

В задачах 261 – 280решить линейное неоднородное дифференци-

альное уравнение второго порядка.

261..	262..
263..	264..
265..	266..
267..	268..
269..	270..
271..	272..
273..	274..
275..	276..
277..	278..
279..	280..

Решение типового примера

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Общее решение будем искать в виде ,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения;

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение однородного уравнения имеет следующий вид:; частное решение исходного неоднородного уравнения.

Определим А. Для этого найдём и:

Подставим в исходное уравнение и сократим все слагаемые на. Получим:

Имеем частное решение:

Общее решение неоднородного уравнения: