Решение типового примера
Найти производные функций:
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
;
;
;
.
Р е ш е н и е.
а)
.
Воспользуемся правилом нахождения
производной суммы, разности функций:
;
б)
.
Воспользуемся правилом нахождения
произ- водной произведения двух функций:
;
в)
.
Воспользуемся правилом нахождения
производной частного двух функций:
;
г)
.
Воспользуемся правилом нахождения
произво- дной сложной функции:
.
В задачах 81– 100провести полное исследование функции и построить ее график.
|
81. |
82. |
|
83. |
84. |
|
85. |
86. |
|
87. |
88. |
|
89. |
90. |
|
91. |
92. |
|
93. |
94. |
|
95. |
96. |
|
97. |
98. |
|
99. |
100. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Решение типового примера
Полное исследование функции рекомендуется проводить по приве-денной ниже схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на непрерывность.
3. Найти асимптоты графика.
4. Исследовать функцию на чётность и нечётность.
5. Определить интервалы монотонности, точки экстремума.
6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба.
7. Вычислить значения функции в нескольких дополнительных точках.
8. По результатам исследования построить график функции.
Пример:
Исследовать функцию
и построить её график.
1. Найдем область определения функции, т.е.
.
Итак,
.
2. Функция имеет разрыв при х = 2. Найдем
односторонние пределы:
.
Так как односторонние пределы функции бесконечны, то при х=2 функция терпит разрыв 2-го рода.
3. Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой. Наклонную
асимптоту будем
искать в виде
, где
.
Тогда
,
.
Следовательно, у=–х–5 есть уравнение наклонной асимптоты.
4. Исследуем функцию на четность, нечетность.
,
.
Функция не является четной и не является нечетной.
5. Определим интервалы монотонности и точки экстремума функции. Для этого найдем производную функции:
.
Производная равна нулю при х=–1 и х=5 и не существует при х =2.
Дальнейшие расчеты сведем в таблицу.
-
-1
(-1;2)
2
(2; 5)
5
–
0
+
Не
сущест-
вует
+
0
-
min
-1
Не
сущест-
вует
max
-13
,
.
6. С помощью второй производной определим интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции :
.
Ни при каком значении аргумента вторая
производная не обраща- ется в нуль.
Следовательно, график исследуемой
функции не имеет точек перегиба. Исследуем
форму графика в области определения
фун- кции, т.е. для
-
х
2
+
Не существует
-
Вогнутость
Не существует
Выпуклость
7. Найдем точки пересечения графика функции с координатными осями.
С осью
,
,
.
С осью
,
,
.
Построим график функции по результатам исследования (рис. 2).
Рис 2.