
- •Введение
- •И основы линейной алгебры
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Т е м а 2. Введение в анализ
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Т е м а 3. Производная
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Т е м а 4. Функции нескольких переменных
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Т е м а 5. Неопределенный и определенный интегралы
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Т е м а 6. Дифференциальные уравнения
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •Т е м а 7. Ряды
- •Вопросы для изучения и самопроверки
- •Задачи контрольной работы
- •Решение типового примера
- •Решение типового примера
- •213407, Г. Горки Могилевской обл. , ул. Студенческая, 2
Решение типового примера
Найти указанные пределы:
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Воспользуемся теоремами о пределах частного и алгебраической суммы :
=
=
=
=
.
2. Непосредственная
подстановка предельного значения
аргументаx=2 приводит к неопределенности вида.
Чтобы раскрыть эту неопределенность,
разложим числитель и знаменатель на
множители.
Так как
,
но не совпадает со своим предельным
значением, то
:
=
=
=
.
3. В этом случае имеем
неопределенность вида
.
Так как в числителе и знаменателе
стоят многочлены, то для раскрытия
неопределенности необходимо числитель
и знаменатель разделить на наивысшую
степень x
из слагаемых многочленов числителя и
знаменателя, т.е. на
,
а затем перейти к пределу:
Так как
бесконечно малые величины при
,
то их пределы равны 0.
4. Найти
Под знаком предела есть иррациональ-ность
в числителе дроби. Непосредственная
подстановка предельного значения
аргумента
приводит к неопределенности вида
.
Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, домножить на выражение, сопряженное числителю дроби:
=
5. Воспользуемся первым
замечательным пределом
.
Получим
.
6. Найти.
При
выражение
,
а показатель степени
стремится к бесконечности. Следовательно,
имеем неопределенность вида
.Представим основание в виде суммы 1 и
некоторой бесконечно малой величины:
Тогда
Положим
;
при
переменная
.
Выразим показатель степени через новую переменную y.
Так как то
Используя второй замечательный предел
получим
Т е м а 3. Производная
Изучение этой темы следует начать с разбора решений задач, приводящих к понятию производной. Это позволит осмыслить и понять определение производной, условия ее существования, ее геометрический и механический смыслы. Особое внимание необходимо обратить на теоремы и правила, позволяющие упростить вычисление производных. Успешное применение производной при решении задач зависит от усвоения понятий возрастания и убывания функций, наибольших и наименьших значений функции, экстремумов функции, выпуклости и вогнутости кривой.
Вопросы для изучения и самопроверки
1. Производная функции, ее геометрический смысл.
2. Правила дифференцирования функций.
3. Производная сложной, неявно заданной и обратной функций.
4. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
5. Дифференциал функции.
6. Производные и дифференциалы высших порядков.
7. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
8. Условия возрастания и убывания функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существо- вания экстремума.
9. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции.
10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
11. Асимптоты кривых.
Задачи контрольной работы
В задачах 61–80найти производные функций:
61.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
62.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
63.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
64.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
65.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
66.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
67.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
68.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
69.а) |
б)
|
в )
|
г)
|
70.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
71.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
72.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
73.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
74.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
75.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
76.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
77.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
78.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|
79.а) |
б)
|
в)
|
г)
|
80.
а) |
б)
|
в)
|
г)
|