Решение типового примера

Пусть координаты вершин пирамиды АBCD:

Р е ш е н и е :

1. произвольный вектор может быть представлен в системе орт следующей формулой:

,

(6)

где проекции векторана координатные оси, а– единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей. Если даны точки М₁(х₁; у₁;z₁) и М₂(х₂; у₂;z₂), то проекции векторана координатные оси находятся по следующим формулам:

.

(7)

Тогда

.

(8)

Подставив в формулу (8) координаты точек А и В, получим вектор :

.

Аналогично получим векторы и:

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

(9)

Применяя формулу (9), получим:

2. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Тогда, учитывая что , получим

3. Проекция вектора на вектор:

4. Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и.

=;S_ABC==кв.ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение

Следовательно, куб. ед., а объем пирамидыABCDравенкуб. ед.

6. Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид

.

Подставив координаты точек А и В, получим

или.

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку М(х_0, y_0, z₀) перпендикулярно вектору(A,B,C), имеет вид

.

Подставив координаты точки С и вектора (нормального вектора искомой плоскости), получим

8. Для определения точки пересечения прямой и плоскости перейдем от канонических уравнений прямой АВ к параметрическим:

Подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:

Подставим найденое значение параметра в параметрические уравнения прямой, получим

Тогда – искомая точка.

Т е м а 2. Введение в анализ

Для успешного усвоения этой темы необходимо разобраться в фундаментальном понятии математического анализа – понятии функции, изучить способы задания функции, свойства основных элементарных функций. При исследовании и анализе поведения функций не обойтись без понятий предела функции, бесконечно малой величины, ограниченной и непрерывной функций. Теоремы о пределах, замечательные пределы играют особую роль при решении задач по этой теме.

Вопросы для изучения и самопроверки

1. Множество действительных чисел. Функция, область определе- ния функции, способы задания функции.

2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Сложные и обратные функции, их графики.

4. Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о преде-лах. Замечательные пределы.

5. Пределы монотонных функций.

6. Непрерывность функций в точке, на интервале.

7. Непрерывность основных элементарных функций.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.

9. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Задачи контрольной работы

Найти пределы функций:

41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.