Вопросы для изучения и самопроверки
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Определенный интеграл и его свойства.
3. Формула Ньютона–Лейбница.
4. Методы вычисления определенного интеграла.
5. Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов.
6. Применение определенного интеграла в задачах практического характера.
Задачи 181–200. Вычислить определенные интегралы.
181.
а)
б)
в)
182.
а)
б)
в)
183.
а)
б)
в)
184.
а)
б)
в)
185.
а)
б)
в)
186.
а)
б)
в)
187.
а)
б)
в)
188.
а)
б)
в)
189.
а)
б)
в)
190.
а)
б)
в)
191.
а)
б)
в)
192.
а)
б)
в)
193.
а)
б)
в)
194.
а)
б)
в)
195.
а)
б)
в)
196.
а)
б)
в)
197.
а)
б)
в)
198.
а)
б)
в)
199.
а)
б)
в)
200.
а)
б)
в)
Решение типового примера
При решении примеров рекомендуется использовать свойства определенного интеграла, методы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле, а также формулу Ньютона–Лейбница:
,
где
–первообразная
для
.
П
р и м е р ы. Вычислить определенные
интегралы.
1.
=
2.
=
=
При решении примера применялся метод замены переменной в определенном интеграле.
3.
=
При решении примера применялась формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Задачи 201–220. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
Решение типового примера
П р и м е р. Вычислить
площадь фигуры, ограниченную линиями:
Р
е ш е н и е.
Построим
линии и заштрихуем искомую площадь. Для
построения параболы
необходимо:
1)
найти точки пересечения линии с осью
ОХ, решив уравнение
,
–точки
пересечения линии с осью ОХ;
2)
найти вершину параболы
тогда
,
точка
–
вершина параболы.
3)
найти точку пересечения с осью ОУ:
тогда
Строим
параболу, учитывая что ветви линии
направлены вниз. Проводим прямую
и заштриховываем искомую площадь
(рис.2).
Рис. 2.
Решая
уравнение
,
находим пределы интегрирования
.
Вычисляем
искомую площадь по формуле
,
где
.
=
Тема 8. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обратить внимание на методы решения дифференциальных уравнений первого порядка:
1) с разделяющимися переменными;
2) однородные;
3) линейные.
Усвоить методику нахождения общего и частного решений.
Изучить методы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка со специальной правой частью.
Вопросы для изучения и самопроверки
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
3. Задача Коши.
4. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющи- мися переменными, однородные, линейные.
5. Дифференциальные уравнения второго порядка.
6. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
7. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Задача 221–240. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее заданному начальному условию.
221.
.
222.
.
223.
.
224.
.
225.
.
226.
.
227.
.
228.
.
229.
.
230.
.
231.
.
232.
.
233.
.
234.
.
235.
.
236.
.
237.
.
238.
239.
.
240.
.