Решение.

Если в примерах 5 – 6 ставилась задача определения вида распределения одной случайной величины, то здесь исследуется характер корреляционной зависимости между двумя случайными величинами. Корреляционную зависимость определяют как функциональную зависимость значений одной случайной величины от условных средних значений другой случайной величины.

Самой простой корреляционной зависимостью является линейная, а уравнения прямых называются прямыми регрессии, которые надлежит нам найти.

Данные задачи уже сгруппированы, т.е. частоты уже подсчитаны и представлены в виде таблицы, которую называют корреляционной. Очевидно первый и последний столбцы состовляют вариационный ряд случайной величины х, а первая и последняя строки – вариационный ряд случайной величины у.

Для последующих расчетов интервальные ряды следует перевести в дискретные, взяв в качестве вариант середины интервалов, как в предыдущей задаче.

Корелляционным полем называют совокупность точек ( x_i, y_j ) в декартовой системе координат.

Числовые характеристики случайных величин х и у находим по формулам (40 – 42), аналогично задаче 6, опуская при этом индекс “в”, так как данные задачи представляют генеральную совокупность.

Уменьшаемые формул дисперсий и обозначают соответственно ( см. формулы 55 ) и , т.е. в наших расчетах ;

Тогда коэффициент корреляции r_xy по формуле (57) будет

Коэффициент корреляции r_xy = 0,74 близок к единице, что говорит о линейном характере корреляционной зависимости между х и у.

Расположение точек корреляционного поля тоже подтверждает высказанное утверждение.

Уравнения прямых регрессии можно находить либо по формулам (55), составляя систему уравнений для нахождения параметров прямой, либо по формулам (59), используя коэффициент регрессии r.

Уравнение прямой регрессии у на х найдем по формулам (55), т.е..

Составляем систему для нахождения параметров а и b

Из первого уравнения системы выражаем b через а и подставляем во второе уравнение.

,

Окончательно уравнение регрессии у на х будет

(1)

Аналогично можно найти и уравнение прямой регрессии х на у. Но при уже найденных r_xy, S_x, S_y уравнение регрессии по формуле (59) определяется быстрее.

Находим коэффициент регрессии r_x/y по формуле (58)

Тогда уравнение прямой регрессии х на у будет

(2)

Строим найденные уравнения прямых регрессии на корреляционном поле.

2

1

x

Корреляционное поле и прямые регрессии.