Решения типовых задач.

Решения задач сопровождаются краткими теоретическими сведениями и возможными вариантами их решений.

Задача 1. В партии из 13 деталей содержатся 4 бракованных. Для проверки случайно отбирают 3 детали. Найти вероятность того, что в число отобранных для проверки войдут:

а) только годные

б) только одна годная

в) хотя бы одна годная.

Решение.

Для решения этой задачи потребуется классическое определение вероятности события: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих событию случаев к их общему числу -. Под “случаями” понимают несколько событий образующих полную группу событий (совокупность всех возможных событий опыта), несовместимых (появление одного исключает появление других) и равновозможных (нет оснований считать, что одно из них предпочтительнее другого).

Так извлечение карт (конечно не шулером) из полной колоды от шестерки до туза являются случаями, всего которых 36. И если мы интересуемся вероятностью вытянуть “туз”, то благоприятствующих данному событию будет 4 случая (4 масти туза). Следовательно, вероятность вытянуть туз равна . Кроме того, нам потребуется понятие сочетания из n элементов по m, которые определяются как комбинации, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом и вычисляются по формуле (1(в)).

а) Всех возможных случаев отобрать 3 детали из 13 будет . Число благоприятствующих событию А (только годные) получим, если составим сочетания из 9 годных по 3.

. Тогда .

Второй вариант решения. Воспользуемся понятием произведение нескольких событий, определяемое как событие состоящее в появлении всех рассматриваемых событий вместе. Событие А можно рассматривать как произведение следующих трех событий: А₁ - первая деталь годная, А₂ и А₃ – вторая и третья деталь годные. . Чтобы применить формулу (4) надо выяснить их зависимость или независимость. Вероятность А₁ . Если событие А₁ имело место, то вероятность А₂ будет , так как всех деталей в том числе годных станет на единицу меньше. Такую вероятность называют условной и обозначают . Аналогично . Таким образом, события А₁, А₂, А₃ – зависимы

.

б) Всего случаев по прежнему n=286. Число случаев благоприятствующих событию В (из трех только одна годная) получим, если к сочетаниям по 2 из 4 бракованных присоединять одну из 9 годных, т.е. . Тогда .

Для выяснения понятия суммы событий рассмотрим второй вариант решения. Событие В – это либо первая годная (А₁), а вторая (В₂) и третья (В₃) бракованные; либо вторая годная (А₂), а первая (В₁) и третья (В₃) бракованные; либо третья (А₃) годная, а первая (В₁) и вторая (В₂) бракованные. Следовательно, т.е. событие В представлено суммой трех несовместимых событий, каждое из которых есть произведение трех зависимых событий, образованных из шести простейших событий.

По формуле (3(а)) с учетом (4(б)) и (2) получим

.

в) Событие С (хотя бы одна из трех деталей годная) есть сумма несовместимых событий: все три годные (А), одна из трех годная (В) и две из трех годные (Д). Посчитать по одному из вариантов пункта б) и просуммировав вероятности указанных трех событий, получим .

Однако значительно проще можно найти с помощью противоположных событий, определяемых как два несовместимых, и образующих полную группу событий.

Противоположным событию С будет – все три детали бракованные. Аналогично второму варианту а)

. Тогда .

Примечание. Для проверки правильности расчетов сумма вероятностей событий А, В, Д и должна быть равна единице, так эти четыре события образуют полную группу несовместимых событий.

Задача 2. В группе 33 студента. Среди них 7 отличников, 13 хорошистов, остальные посредственники. Вероятность пройти аттестацию на “отлично” для отличника – 0,9; для хорошиста – 0,6; для посредственника – 0,1.

Найти:

а) вероятность того, что наудачу выбранный студент будет аттестован на “отлично”.

б) вероятность того, что студент прошедший аттестацию на “отлично” из “хорошистов”.