Завдання №7

При розв’язанні рівняння ,що містить більш ніж один вираз під знаком модуля, використовують найчастіше метод інтервалів.

Метод інтервалів (проміжків) при розв’язуванні рівнянь з модулями

Даний метод полягає в тому, що:

1) Вирази, які стоять під знаком модуля, прирівнюються до нуля;

2) отримані значення відкладаються на числовій прямій, яка при цьому розбивається на інтервали (проміжки), в кожному з яких свій знак підмодулевого виразу;

3) Розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.

.

Розглянемо застосування методу інтервалів на прикладах, і останнім в цьому розділі буде зразок оформлення завдання до самостійної роботи.

Задача 7

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

; . Наносимо на числову пряму точки і . Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали (проміжки), у кожному з яких свій знак під модульного виразу. Для зручності можна позначити ці інтервали І, ІІ, ІІІ:

І: ; ІІ: ; ІІІ: .

Для інтервалу І маємо: ; .

     Звідси, дістаємо розв’язання рівняння в І інтервалі: . Однак значення не належить І інтервалу, тобто , тому в І інтервалі початкове рівняння розв'язків не має.

     Для ІІ інтервалу ; початкове рівняння має вигляд . Оскільки – це тотожність, то будь-яке є розв’язком, тобто розв’язком рівняння є весь відрізок .

     Для ІІІ інтервалу ; початкове рівняння має вигляд: . Оскільки , то в ІІІ інтервалі початкове рівняння розв’язків не має.

Задача 8. Обчислити суму цілих розв’язків рівняння

Розв’язання. 

Запишемо

Розглянемо випадки:

1) тоді

    

2) тоді

  

отже, усі значення з проміжкузадовольняють рівняння.

3) тоді

   

    

Цілі числа є розв’язками рівняння. Їхня сума дорівнює

Відповідь: 9.

Приклад.7

Розв’язати рівняння з модулем |x+8|-|x-11|=14

Розв’язання

|.x+8|=							.	x	+	8		;	x	>	-8
						.-(	.	x	+	8	)	;	x	<	-8
|.x--11|=							.	x	--	11		;	x	>	11
						.-(	.	x	--	11	)	;	x	<	11
			--						+			+
			--						---			+
	.(1).				-8		.(2).			11		.(3).
	.(1).			x	<	-8
	--	(	.	x	+	8	)	+	(	.	x	--	11	)=	14
	+	0	--	8	--	11	=	14
	+	0	+	(	-19	)	=	14
	+	0	=	22							. нема розв'язку
	.(2).			-8	<	x	<	11
		(	x	+	8	)	+	(	x	--	11	)=	14
		2x	--	8	--	11	=	14
		2x	-	3		=	14
		2x	=	17									x	=	8,5
		.									.
	.(3).			x	>	11
	(	x	+	8	)	--	(	x	--	11	)=	14
	8	+	11	=	14
	19	=	14
		.									нема розв'язку
	Відповідь:
				.	.	нема розв'язку						;	x	<	-8
		х	=	-6	.	.						;	-8	<	x	<	11
				.	.	нема розв'язку						;	x	>	11