Оценка генеральной дисперсии.

Теорема. Выборочная дисперсия σ_в² повторной и бесповторной выборок является смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсия _.

Замечание.В процессе доказательства теоремы получено, что, т.е. выборочная дисперсия уменьшает генеральную дисперсию. При замененадопускается систематическая погрешность в сторону уменьшения. В связи с этим вводится «исправленная дисперсия», которая является несмещенной оценкой_.

Пример.Предельная нагрузка на стальной болтХ_і, которая измерялась в лабораторных условиях, задана как интервальное статистическое распределение:

Xi, кг/мм2	4,5-5,5	5,5-6,5	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5	10,5-11,5	11,5-12,5	12,5-13,5
	40	32	28	24	20	16	12	8

Определить точечные несмещенные и состоятельные оценки для и_.

6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки

Точечная оценка _n является приближенным значением неизвестного параметра и в том случае, когда она несмещенная (в среднем совпадает с), состоятельная (приближается кс ростомn) и эффективная (характеризуется наименьшей степенью отклонений от) и при выборке малого объема возможная значительная разность между оценкой параметра и параметром, т.е. привести к грубым ошибкам.

По этой причине, для получения более точной и достоверной оценки _nпараметра, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал, который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестное значение параметра.

Границы интервала его длина, определяются по выборочным данным и потому являются случайными величинами, в отличие от параметра- величины неслучайной и в связи с этим правильнее говорить, что интервал «накрывает», а не «содержит» значение.

Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала.

Интервал называютдоверительным (его концы – доверительными границами), а вероятность –доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Длина доверительного интервала значительно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростомn) и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице). В большинстве, но не всегда, доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра, т.е.. Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман на основании идей Р.Фишера.

Предельной ошибкой выборки называется наибольшее отклонение ∆ выборочной средней (доли) от генеральной средней (доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью .

Ошибка является ошибкойрепрезентативностивыборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся генеральная совокупность, а только ее часть.

Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.

Построение доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей можно осуществить с помощью прямогометода (если исходить из генерального распределения, откуда как следствие получать выборочное распределение и из него распределение статистик), иликосвенногометода, который позволяет при некоторых общих предположениях получить асимптотические (приn→∞) распределения статистик. Рассмотрим второй метод.

Теорема. Вероятность того, что отклонение выборочной средней (доли) от генеральной средней (доли) на величину, которая не превышает по абсолютной величиной число ∆>0 равна:

,где, (2.12)

,где. (2.13)

Доказательство.

Формулы (2.12) и (2.13) называются формулами доверительной вероятности для средней и доли.

Средней квадратической ошибкой называется среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно случайной выборки.

Формулы для вычисления для разных статистик и разных выборок можно получить из формул 2.14, 2.15, 2.18, 2.19 и они имеют вид:

а) выборка собственно случайная повторная:

для средней – (2.14)

для доли – (2.15)

б) выборка собственно случайная без повторная:

для средней – (2.16)

для доли – (2.17)

Замечание.Из рассмотренной теоремы следует, что доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной доли находятся по формулам:

,(2.18)

,. (2.19)