2. Понятие оценки параметров

Примем такие обозначения:

- объем генеральной совокупности (количество элементов);

– среднее значение признака в генеральный совокупности (генеральная средняя);

– дисперсия признака в генеральной совокупности (генеральная дисперсия);

- объем выборочной совокупности;

– выборочная средняя;

– выборочная дисперсия.

Задача оценки параметров заключается в том, чтобы по результатам одной виборки с достаточной надежностью оценить значение характеристик генеральной совокупности.

Оценка называется точечной, если она выражается одним числом.

Задачу оценки можно разделить на две части: какую величину (выборочной средней, выборочной дисперсии или частости), вычисленной по выборочной совокупности, принять в качестве приближенного значения характеристики генеральной совокупности (точечная оценка); в каком интервале этой величины будет находится с заданной надежностью генеральная характеристика (интервальная оценка).

Оценка параметрагенеральной совокупности является случайной величиной, которая зависит от распределения признака и объема выборки. С точки зрения математической статистики, оценкапараметраявляется качественной, если она удовлетворяет трем наиболее важным свойствам: несмещенности, состоятельности и эффективности.

Определение. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е.

В противном случае оценка называетсясмещенной.

Выполнение этого свойства гарантирует отсутствие систематической погрешности при оценивание.

Определение. Оценка параметраназывается состоятельной, если она сходимость по вероятности к оцениваемому параметру

или.

Определение. Несмещенная оценкапараметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одинакового объема .

Эффективность оценки является определяющим свойством качества оценки.

3. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно - случайной выборке.

Рассмотрим сначала качественный признак, который может приобретать два альтернативных значения.

Оценка генеральной доли.Пусть генеральная совокупность состоит изэлементов, из которыхобладают некоторым признаком. Необходимо найти «наилучшую» оценку генеральной доли.

Рассмотрим в качестве такой оценки параметра его статистический аналог - выборочную долю.

1. Для повторной выборки.Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическуюальтернативных случайных величин, т.е.

,

где случайная величина выражает появление признакав-ом элементе выборки ( =1, при наличии признака, и=0, при отсутствии признака). Таким образом, случайные величиныимеют одинаковый закон распределения:

	0	1

Случайные величины независимы в совокупности.

Теорема. Выборочная доля повторной выборки является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли,причем ее дисперсия определяется по формуле

(2.4)

Доказательство.

2. Для бесповторной выборки.В этом случае случайные событиязависимы, но справедливо следующая теорема.

Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли,причем ее дисперсия вычисляется по формуле

(2.5)

Доказательство.

Оценка генеральной средней.

Пусть из генеральной совокупности объемом N отобрана случайная выборка, где– случайная величина, которая выражает значение признака yі-го элемента выборки. Необходимо найти «наилучшую» оценку для генеральной средней

.

Рассмотрим в качестве оценки выборочную среднюю .

1. Выборка повторная. Закон распределения для каждой случайной величиныХ_і одинаковый:

i			…
P	M1/N	M2/N	…	Mk/N

Случайные величины Х_і ) независимы в совокупности. Числовые характеристики каждой случайной величиныХ_і это соответственно генеральная средняяи генеральная дисперсия_.

Действительно,

, (2.6)

, (2.7)

т.е.математическое ожидание и дисперсия случайных величинХ_і это соответственно генеральная средняяи генеральная дисперсия_.

Теорема. Выборочная средняя повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней и для нее выполняется равенство

(2.8)

Доказательство.

Замечание. В случае, когда распределение генеральной совокупности нормальный, то будет и эффективной оценкой.

2.Выборка бесповторная.В случае бесповторной выборки случайные величиныбудут зависимыми.

Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней, а дисперсия ее вычисляется по формуле:

(2.9)

Теорему принимаем без доказательства.