Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
GIS КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
890.01 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ КЕРЧЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ МОРСЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «ЕКОЛОГІЯ МОРЯ»

«ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ (ГІС)»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ: 7.070801 / 8. 070801 ЕКОЛОГІЯ ТА

ОХОРОНА НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

КЕРЧ, 2010

Укладач: Чорний С.Г., доцент кафедри «Екологія моря» КДМТУ

Рецензенти:

Кудрік І.Д., к.г-м.н., доцент кафедри «Екологія моря» КДМТУ, Козуб Н.О., к.т.н., доцент кафедри Інформаційних технологій ХНТУ.

Конспект лекцій розглянутий та схвалено на засіданні кафедри «Екологія моря» КДМТУ, протокол № 3 від 11.10.2010 р.

Конспект лекцій розглянутий та рекомендовано до затвердження на засіданні методичної комісії ТФ КДМТУ, протокол № 2 від 28.10.2010 р.

Конспект лекцій затверджено на засіданні Методичної ради КДМТУ, протокол № 1 від 15.12.2010 р.

© Керченський державний морський технологічний університет

ВСТУП

За своєю суттю дані стаціонарних наукових досліджень, які ведуть спеціалісти наукових відділів установ природно-заповідного фонду (ПЗФ), є просторово-координованими. Так, багаторічні спостереження проводяться на опорній мережі моніторингу, яка є системою пробних площ, маршрутів та ін., а останні, у свою чергу, є чітко визначеними в просторі. Очевидно, що в цьому сенсі геоінформаційні системи (ГІС) є адекватним сучасним інструментарієм для збирання, зберігання, опрацювання та аналізу таких даних. Широке впровадження ГІС-технологій для моніторингу в заповідниках, національних парках тощо може піднести ці дослідження на якісно новий рівень. Крім того, це сприятиме створенню та поширенню тематичних векторних мап (ареалів видів, ландшафтів, об'єктів ПЗФ та ін.), відсутність яких істотно знижує якість наразі створених ГІС природоохоронного спрямування державного й регіонального рівнів. На останню проблему вказують автори, які займалися створенням ГІС такого роду (Козлова, 2005; Придатко зі співавт., 2005). Як наслідок, аналітичні й прогностичні можливості таких ГІС є досить обмеженими.

Слід зазначити, що на шляху до впровадження геоінформаційних технологій для досліджень в установах ПЗФ одразу ж окреслюється низка перешкод. Одна з них - це недостатність у науковців знань щодо геоінформаційних технологій. У першому наближенні ця перешкода може долатися підвищенням кваліфікації науковців (у сучасних умовах – майже виключно шляхом самоосвіти), і віддаленішій перспективі й на державному рівні – введенням у програму підготовки фахівців з біології та екології у вищих навчальних закладах курсів з теоретичної та практичної геоінформатики.

Іншим істотним гальмівним чинником є недоступність комерційних програмних засобів ГІС через високу вартість. Так, ціни на найвідоміші й потужні ГІС-програми (наприклад, MAPINFO, програмні продукти від компанії ESRI тощо) сягають за 2 тис. доларів. З огляду на реалії сучасного буття установ ПЗФ в Україні, годі й сподіватися на будь-як достатню комплектацію їх примірниками комерційних програмних засобів ГІС.

Географічна інформація завжди була важливим елементом життя людського суспільства і ключовим засобом вивчення навколишнього світу. У картографії протягом попередніх віків постійно нагромаджувалася інформація та знання про земну поверхню. В XX столітті створення комп’ютера кардинально змінило та розширело можливості застосування карт. Цифрове представлення просторових даних отримало назву - геоінформаційні системи (ГІС).

ГІС - це інформаційна система, яка використовується для збору, зберігання, обробки відображення і розповсюдження просторової інформації.

Для одержання та використання органами державної влади достовірної і повної інформації є спеціально організований збір, обробка і подання даних особам, які приймають або готують рішення. Така інформаційна

інфраструктура реалізується в формі геоінормаційних систем, головною компонентою якою є цифрова топографо-геодезична та картографічна продукція. Практичне впровадження геоінформаційних технологій для створення різноманітної картографічної продукції дає змогу:

полегшети і об’єктивувати авторське картографічне опрацювання інформації, відмовитися від ручної праці, використовувати автоматизований та інтерактивний режим у створенні авторських і видавничих оригіналів карт на комп’ютерах;

значно прискорити процес укладання найскладніших картографічних творів;

зберігати картографічну продукцію в електронному вигляді в ГІС;

оновлювати карти й атласи шляхом введення нових даних в інформаційні модулі ГІС окремих картографічних продуктів;

використовувати електронні атласи і карти з Інтернету і представляти в цій мережі свою картографічну продукцію та ін.

В останні роки географічна інформація (перш за все, у виді цифрових карт) в усьому світі стає все більш і більш важливою при вирішенні різного роду задач:

спостереження за ситуацією на території;

раціональне управління ресурсами території, в тому числі, земельними та нерухомим майном;

планування та розвиток території (промислове та цивільне будівництво, проектування доріг та інших об’єктів тощо);

моніторинг ринку майна, тощо.

Це далеко не весь перелік задач які вирішуються при використанні географічної (геопросторової) інформації, їх значно більше.

Застосування ГІС-технологій дозволяє зробити кардинальні зрушення в галузі забезпечення прийняття управлінських рішень щодо використання природних ресурсів, охорони навколишнього природного середовища та екологічної безпеки на різних управлінських рівнях. Головними перевагами використання ГІС вважають розвиненість функцій просторового аналізу, інтуїтивно зрозумілий графічний інтерфейс, модульність архітектури, відповідність сучасним стандартам інформаційних систем, відповідність зростаючим вимогам користувача.

Метою вивчення дисципліни є формування у фахівця теоретичних знань і практичних навичок використання ГІС у виробництві для одержання інформації необхідної для прийняття рішень щодо стану навколишнього середовища, з метою ландшафтно-екологічного зонування території, створення карт стану місцевості, прогнозування продуктивності використання території та т.п.

Задачі вивчення дисципліни «Інформаційні технології (ГІС)» полягають в формуванні спеціалістів, здатних:

здійснювати збір географічної інформації;

визначати точкові, лінійні об’єкти та об’єкти у вигляді полігонів на основі їх атрибутів;

використовувати ГІС для ведення моніторингу;

застосовувати ГІС з метою ландшафтно-екологічного зонування території;

використовувати методи інтерполяції;

проводити розрахунки нахилу, експозиції схилів, виділяти буферні зони навколо об’єктів навколишнього середовища;

проводити картографічне накладання шарів, картографічне моделювання;

вміти використовувати ГІС з метою техніко-економічного обґрунтування використання та охорони земельних та водних ресурсів.

Студенти повинні знати:

способи збору, введення та збереження просторової і атрибутивної інформації;

способи конвертування та перетворення інформації;

методи геоінформаційного аналізу та картографічного моделювання просторової інформації;

методи інтерполяції.

1. Інформаційні системи та їх інтеграція у середовище ГІС

Поняття інформації належить до не означуваних понять в інформатиці. Розрізняють поняття “відомості”, “повідомлення” та “інформація”. Відповідність між повідомленням та інформацією не є взаємно однозначною. одну і ту ж інформацію можна передати за допомогою різних повідомлень, наприклад, різними мовами, чи з доданням несуттєвого повідомлення, що не несе ніякої додаткової інформації. З іншого боку, одне й те саме повідомлення може сприйматись по-різному, тобто, передавати при цьому різну інформацію. Наприклад, різні люди, читаючи одну й ту ж книгу, отримують різну інформацію, залежно від рівня сприйняття, підготовленості, тощо.

Можна сказати, що: інформація – це набір відомостей про факти, події, явища, предмети природи, які нас цікавлять.

Можна виділити наступні види інформації:

Текстова – інформація, яка відображається літерами та спеціальними символами й вигляді текстів міститься в усій друкованій літературі або рукописних документах.

Графічна – картини, малюнки, графіки, схеми, діаграми, тощо.

Звукова - усне мовлення, музика, шумові ефекти.

Чисельна - набори числових даних.

Управлінська - вказівки, команди, накази, які передаються певним виконавцям. Виконавці можуть бути, як живі істоти, так і технічні пристрої (роботи, станки з ЧПУ, комп’ютери)

Відомості стають інформацією, коли вони деяким чином фіксуються. Фізичне середовище, в якому зафіксована інформація, називається носієм інформації. Наприклад, папір, магнітна стрічка, фотоплівка. Сучасна техніка пропонує нові носії: магнітні та лазерні диски.

Інформатика - наука, яка вивчає закони розвитку та способи збору, передачі і обробки інформації за допомогою комп’ютерів.

Під збором інформації ми розуміємо власне проведення збору інформації, її класифікацію та введення в ЕОМ.

Обробка інформації - це одержання потрібних вихідних форм. Операційна система (ОС) - це комплекс системних програм, які

управляють процесами:

виконання програми;

обробкою помилок;

обміном інформацією між ОП та ЗП;

мультипрограмування ( В оперативну пам’ять може бути загружено кілька програм.)

розмежування доступу; (типу user, admin, гість)

обміном інформацією між ЕОМ (2-ма і більше); Під МS-DOS спеціально загружаємо мережу, тобто, спеціальне мережеве

програмне забезпечення. Усі інші (наприклад, Windows, Unix,) мережево орієнтовані операційні системи.

Поняття команди. Управління роботою комп’ютера операційна система реалізує за допомогою команд. Команда вказує, що треба зробити, описує якусь завершену дію. Складається команда з командного слова та параметрів. Командне слово вказує, що треба робити; параметри – над чим і як. Розрізняють позиційні параметри та ключові. У позиційних параметрах вказується, з чим ми будемо працювати. В ключових - як ми це будемо робити, тобто, йде уточнення команди.

Етапи розв’язання задач з використанням комп’ютера.

1.Постановка задачі. Формуються умови задачі та вимоги, які ставляться до її розв’язання. Проводиться попередній аналіз об’єкта, що дає змогу уточнити умови задачі.

2.Розробка моделі. Визначаються основні властивості об’єктів, визначаються зв’язки між ними та іншими об’єктами навколишнього світу. Складається алгоритм розв’язування задачі. Вибирається потрібне програмне забезпечення або складається програма.

3.Комп’ютерні експерименти. Перевіряється робота моделі, виконуються необхідні розрахунки, перевіряється правильність алгоритму.

4.Аналіз результатів. Матеріалом для аналізу є комп’ютерні

експерименти, які повинні бути проведені таким чином, щоб отримати достовірні результати.

Географічна інформаційна система (ГІС) – програмно-апаратний комплекс, який служить для збору, управління, аналізу та відображення просторово-розподіленої інформації. В основу ГІС покладені основні принципи і закони геоінформатики.

Геоінформатика – (Geo-informatics) – це наука, технологія і виробнича діяльність по науковій основі, проектуванню, створенню, експлуатації і використанню географічних інформаційних систем, по розробці геоінформаційних технологій, або ГІС-технологій (Gis-technology), по прикладним аспектам або додаткам ГІС (Gis-application) для практичних та геонаукових цілей. Входить складовою частиною (по одній із точок зору) або предметно і методично пересікається з геоматикою.

Геоматика – (синонім - геоінформатика) (Geomatics) – наука і технологія, яка вивчає характер і структуру просторової інформації, методи її збору, організації, класифікації, оцінки, аналізу, управління, відображення і розповсюдження, а також – інфраструктуру, необхідну для оптимального використання цієї інформації.

Геоінформаційні системи базуються на певному наборі технічного обладнання, основними функціями якого є забезпечення роботи програмних ГІСпродуктів і допоміжних програм, збереження масивів цифрових даних, забезпечення збору і введення даних, представлення готової інформації.

Комплекс електронних і електронно-механічних пристроїв, призначений для технічної підтримки працездатності ГІС, називається апаратним забезпеченням ГІС.

У зв’язку з особливостями організаційної структури ГІС апаратне забезпечення прийнято поділяти на три основні групи:

пристрої обробки і збереження даних;

пристрої збору і введення даних;

пристрої візуалізації і представлення даних. Рекомендована література [5, 7, 11, 12].

Питання для перевірки знань:

1.Що таке інформаційна система?

2.Які основні компоненти ГІС?

3.Визначте області застосування ГІС?

4.Назвіть етапи становлення ГІС?

5.Визначте структурний поділ апаратного забезпечення для ГІС?

2. Робота з моделями даних

Основними джерелами даних є: картографічні, статистичні матеріали, дані польових зйомок, текстові, дані дистанційного зондування поверхні Землі (ДДЗЗ). Вони можуть знаходитися як в електронному вигляді, так і в аналоговому, і мати, як дані про просторові об’єкти, так і атрибутивні дані. У процесі проектування ГІС виходячи із завдань, які вона буде вирішувати, визначаються, які тематичні дані необхідні, та з яких джерел вони можуть бути отримані в найкоротші строки і при мінімальних затратах (рис. 1).

Традиційні джерела даних. Одним із основних джерел просторових даних є паперові карти (плани), які необхідно ввести (оцифрувати) для можливості використання в ГІС. Відомості, зчитані з карт, мають чітку координатну прив’язку, в них немає пропусків у межах зображеної території і вони у будь-якій своїй формі можливі для запису на комп’ютер.

Картографічні джерела відрізняються великою різноманітністю і вміщують у себе:

-загально географічні карти (топографічні, оглядово-топографічні, оглядові), які вміщують різноманітні відомості про рельєф, гідрографію, грунтово-рослинний покрив, транспортні мережі, населені пункти, кордони тощо. Вони використовуються для отримання інформації про об’єкти місцевості та їх прив’язку;

-тематичні карти, які містять різноманітні відомості з різних галузей природознавчих наук (геологія, гідрологія, океанографія, ґрунтознавство, землекористування, флора і фауна);

-соціально-економічні карти (промисловості, сільського господарства, транспорту, загальноекономічні, народонаселення тощо);

-політичні карти (кордони адміністративно-територіального поділу);

-історичні і таке інше.

Картометричні методи

Дигіталізація

 

Сканування

існуючих карт

 

існуючих карт і

(ручна)

 

текстових

 

 

 

 

даних

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обробка та

 

 

Растр-

 

інтеграція

 

 

вектор

 

даних

 

 

перетвор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просторові дані

картографічні

 

Росторові дані

графічні

 

Растрові дані

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

копії)

 

(тверді

 

Топоплани

Картографіч

 

 

ний банк

 

даних

 

 

Наземні методи

Електрона тахеометрія,

GPS і їх комбінація

Векторні дані

Обробка та інтеграція даних

Топоплани, тверді копії

 

Просторові дані географічні

 

Просторові дані географічні

векторний формат

 

 

 

 

 

 

Географічни

й банк даних

Дистанційні методи

Аерофотозй

 

Космічна

омка

 

зйомка

 

 

 

Фотографічне Електронно-

зображення оптичне

зображення

Сканування

 

 

Електрона і

 

і корекція

 

 

геометрична

 

 

 

 

 

 

корекція

 

 

 

 

 

 

Відкоректовані растрові

 

 

’язка

 

зображення

(дані)

 

 

-Ортофото

корекція

 

 

 

 

 

 

 

прив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фотограмме

 

 

висотна-Планово

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тричне

 

 

 

 

 

 

 

 

згущення,

 

 

 

 

 

 

 

отримання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЦМР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оротофотозображення (карти)

Дешифрування або растр-вектор інтеграція

Просторові дані географічні

векторний формат

 

Ортофотокарти (інтегровані)

растровий формат

 

Ортофотокарти (інтегровані), тверді

копії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Загальна функціональна схема отримання картографічної інформації

Проблемою у використанні карт й планів на паперових (лавсанових, алюмінієвих та ін.) носіях є їх неоднорідність: різна точність, різний час складання.

Крім карт джерелами даних можуть бути й інші картографічні матеріали: географічні атласи, рельєфні карти, профілі, блок-діаграми (поєднують перспективне зображення поверхні з профілями) та ін.

Цифрові карти. Цифрова інформація про місцевість може бути отримана різними шляхами:

-польовими геодезичним методами з використанням електронних тахеометрів;

-фотограмметричним методом за результатами обробки фотографічних знімків місцевості;

-картографічним, для якого вихідною інформацією про місцевість є традиційні топографічні карти.

Однією з особливостей, що істотно ускладнюють використання цифрових карт у ГІС – різноманітність форматів подання та програмних засобів ГІС. Існує велика кількість конверторів, але вони не задовольняють сучасних потреб у повній мірі. У системах обробки растрових моделей даних використовується велика кількість стандартів даних: PCX, NIFF, GIF, JPEG та ін. Найрозвинутішим за структурою форматом з гнучкими можливостями для передачі растрових даних і пов’язаної з ними інформації – ТІFF.

До векторних обмінних форматів відносяться файли DXF із AutoCAD. Цей формат підтримує більшість ГІС та системи вводу/виводу для передачі просторової інформації. Є багато інших форматів: DGN (Intergraph), GEN (ARK/INFO), SHP (ArcView), MIF/MID (MapInfo), ARC/PNT (GeoDraw/GeoGraph), DAT (ASCII).

Точність і якість є також важливими характеристиками цифрових карт. Точність залежить від: джерел просторової інформації, методу оцифровки, кваліфікації особи, які її виконували. Головним критерієм якості цифрової карти є ефективність її використання у даній предметній області.

Головні вимоги до цифрових карт:

-наявність і коректність топологометричних відношень;

-повнота змісту і коректність атрибутивних баз даних (якщо вони надходять з цифрових карт);

-інформативність, точність, прийняте співвідношення ціна/якість;

-не протиріччя;

-актуальність.

Оцінка якості цифрових карт проводиться за допомогою оцінної шкали, пов’язаної зі ступенем складності карти.

Зміст карт повинен бути повним, достовірним, сучасним, точним і забезпечувати вирішення завдань в інтересах багатьох користувачів.

Повнота – зображення всіх типових рис, характерні елементи й об’єкти місцевості. Важливою є узгодженість показу подробиць місцевості, підписів і назв об’єктів різномасштабних карт.

Достовірність і сучасність – зміст карти повинен відповідати місцевості на момент її використання.

Точність – зображені на карті об’єкти повинні зберігати точність свого місцезнаходження, геометричної подібності і розмірів у відповідності з

масштабом карти та її призначенням. Точність у значній мірі залежить від джерел просторової інформації, методу оцифровки і кваліфікації особи, яка її виконувала.

Дані дистанційного зондування. Дані дистанційного зондування – дані про поверхню Землі , об’єкти, розташовані на ній, отримані у процесі зйомок будь-якими неконтактними, тобто дистанційними, методами.

Способи і засоби ДЗЗ умовно класифікують:

за спектральним діапазоном роботи засобів ДДЗЗ;

по способу отримання ДДЗЗ;

за видом носія на якому встановлено засоби ДЗЗ;

за роздільною здатністю отримуваних матеріалів.

Удистанційному зондуванні використовують частину діапазону електромагнітного випромінення – оптичні, інфрачервоні і радіохвилі. Електромагнітне випромінення класифікують за довжиною їх хвиль.

Ділянка оптичних хвиль (0,001 – 1000 мкм) складаються з ультрафіолетового (<400 нм), видимого (400 – 80 нм) та інфрачервоного (0,8

1000 мкм) діапазонів.

Довжини хвиль, які сприймає людське око, називаються видимими. Різноманітні довжини хвиль видимого світла сприймаються як різні

кольори (в нм): фіолетовий (390 - 450), синій (450 - 480), блакитний (480 - 510), зелений (510 - 550), жовто-зелений (550 - 575), жовтий (575 - 585),

жовтогарячий і червоний (620 - 800).

Діапазон інфрачервоного випромінення включає під діапазони: ближнього (0,8 – 1,5 мкм), з перевагою відбитого випромінювання Сонця; середнього, дальнього та теплового (> 3 мкм), власне випромінювання Землі (теплове) та інфрачервоне випромінювання.

Удіапазоні радіохвиль розрізняють хвилі у міліметровому, дециметровому і метровому діапазонах.

Усвітловому діапазоні працюють фотографічні, телевізійні, лазерні системи; середні та дальні середні та дальні діапазони представлені двома вікнами: 3 – 5 мкм і 8 – 14 мкм. На ці довжини хвиль приходиться максимум власного теплового випромінювання. В радіодіапазоні використовують ультракороткі електромагнітні хвилі. Приймач може фіксувати як власні випромінювання так і відбиті.

2. Засоби отримання даних ДЗЗ. Розрізняють:

Фотографічні засоби. Засоби, що отримали найбільш широке поширення для картографування землі; виконання кадастрових, землевпорядкувальних робіт. При зйомці зображення будується за законом центрального проектування.

Телевізійні засоби - за принципом роботи нагадують картографічні, лише замість фотоплівки у фокальній площині об’єктива встановлюється TV – трубка. Сигнал, що у ній формується – підсилюється і відтворюється на моніторі, встановленому на борту носія або передається по радіоканалам на землю.

Скануючи системи – це великий клас систем ДЗЗ, в якому випромінювання від елементарних ділянок місцевості фіксується послідовно приймачем електронно-магнітного випромінювання.

3.За видом носія на якому встановлено засоби ДЗЗ можна класифікувати: для аерофотозйомки та для космічної зйомки.

Для аерофотозйомки. Для топографічної аерофотозйомки у нашій

країні використовують літаки АН–30, Іл.–14ФК, АН–2, а також гелікоптер К–26 (в останній час широкого розповсюдження набули мотодельтаплани, радіокеровані літаки тощо).

АН–30 використовують для зйомки в середніх масштабах. Висота польоту 3000 – 7000 м, крейсерська швидкість – 440 км/год.

Іл.–14ФК – для зйомки у великих і середніх масштабах. Висота польоту

– 6000 м, крейсерська швидкість – 300 км/год.

АН–2 – для зйомки у великих масштабах. Висота польоту – 5000 м, крейсерська швидкість – 180 км/год.

Гелікоптер К–26 використовують для аерозйомки у великих масштабах окремих ділянок місцевості. Висота польоту 3000 м, середня крейсерська швидкість – 140 км/год.

Для аерозйомки невеликих ділянок місцевості можна також використовувати міні літаки, радіокеровані авіамоделі, а також мотодельтаплани (що сьогодні найбільш перспективно для аерозйомки сільської місцевості, при виконані робіт з газифікації, інвентаризації та інше).

Під час проведення топографічної аерофотозйомки повинні виконуватися такі умови.

Має бути забезпечена загальна стійкість польоту літака. Кути нахилу не повинні перевищувати 3 градусів, а при використанні стабілізуючого пристрою – 1 градус.

Коливання висоти польоту над середньою площиною ділянки місцевості не повинні перевищувати 3% від розрахованих значень для рівнинних ділянок і 5% для гірської місцевості. Контролюється цей показник за допомогою барометричного висотоміра.

Непрямолінійність маршруту не повинна перевищувати 3% від довжини маршруту для масштабу 1:5000 і крупніше, і не більше 2% - для масштабів дрібніших 1:5000.

Поздовжнє перекривання в середньому повинно дорівнювати приблизно 60%, зона потрійного поздовжнього перекривання – не менше 12%. Поперечне перекривання в середньому повинно бути 30% - 40%, але не менше 20%

Для космічної зйомки. Основні існуючі на даний час засоби космічного зондування і супутникові платформи були створені у відповідності з трьома програмами з цифрових систем формування мультиспектральних зображень поверхні Землі. Це програма з міжнародних метеорологічних штучних супутників Землі (ШСЗ), яку очолює Національна адміністрація США з океанів та атмосфери (NOAA), і яка була розпочата наприкінці 60-х років, а також

програми LANDSAT (США) і SPOT (Франція), розпочаті відповідно у 1972 і 1984 рр. Ці функціонуючі в наш час базові супутникові програми комерційного призначення доповнені рядом національних програм: індійським супутником IRS; японськими супутниками MOS і JERS; супутником Європейського Космічного Агентства ERS; Російськими системами дистанційного зондування „Ресурс” і так далі.

Для комерційного використання сьогодні доступні декілька цифрових систем зйомки:LANDSAT TM, SPOT, IRS, NOAA.

Значну увагу нині привертають радіолокаційні зйомки із супутників, оснащених радарами: RADARSAT, ERS, JERS. Відмінною рисою цих систем є їх всепогодність, всесезонність, можливість проводити зйомку в будь-яку пору, тобто незалежно від освітлення.

4) Роздільна здатність отримуваних матеріалів є важливим показником для спеціалістів, що використовують ДДЗЗ. Сучасні камери дозволяють отримувати роздільної здатності до одиниць сантиметрів на місцевості. Для космічних знімків - 1-2 метрові є дуже добрим показником.

Трохи інше представлення про ДЗЗ в ГІС.

Матеріали зйомок можуть бути подані у вигляді єдиного набору растрових зображень, прив’язаних до потрібної координатної системи, і на відміну від паперово-картографічних матеріалів. Можуть відображати одномоментну фіксацію всіх просторових об’єктів і відношень між ними. Характеристик отриманих зображень залежать від природних і технічних умов. Природні умови: сезон зйомки, освітленість поверхні, стан атмосфери тощо. Технічні умови: тип літального апарату, орієнтація оптичної осі знімального апарату, метод отримання зображення, тип датчика, метод управління процесом зйомки.

Зйомки здійснюються спеціальними приладами – датчиками. Датчики можуть бути активними та пасивними. Пасивні датчики уловлюють відображене або природне випромінювання, а активні здатні самі випромінювати необхідний сигнал і фіксувати його відображення від об’єкта. До пасивних датчиків належать фотографічне, телевізійне і скануючи обладнання, яке діє в діапазоні відбитого сонячного випромінювання. До активних датчиків належать радарне обладнання, скануючи лазери, мікрохвильові радіометри та ін.

В сучасному ДЗЗ розрізняють дві основні системи збору й перетворення вихідних даних для ГІС: аналогову та цифрову.

Результати знімання, тобто отримане зображення, характеризується:

-центральними діапазонами, які фіксує система (число і градації цих діапазонів);

-геометричними особливостями отримуваного зображення (вид проекції, розподіл викривлень);

-радіометричною роздільною здатністю, тобто числом градацій яскравості, що фіксується системою;

-часовим розподілом, тобто мінімальним проміжком часу, через який проводиться повторне проведення зйомки.

Висота зйомки впливає на роздільну здатність і площу, що покривається одним кадром.

Для успішного використання ДДЗ з метою тематичного дешифрування розроблена логічно обґрунтована послідовність комп’ютерних перетворень зображень:

-геометрична корекція (прив’язка знімків);

-корекція яскравості (усунення шумів і вияв усіх діапазонів яскравості);

-тематична обробка (класифікація, фільтрація, арифметичні та логічні операції тощо);

-експертна оцінка результатів автоматизованого дешифрування в геоінформаційних системах.

Найважливішими показниками ДДЗ є:

-роздільна здатність знімків;

-просторовий огляд;

-періодичність зйомки і доставки інформації;

-диференційоване використання діапазонів спектра електромагнітних хвиль у залежності від мети зйомок.

Важливими характеристиками для космічної зйомки є вид орбіти і параметри орбіти супутників.

Матеріали зйомок на місцевості. Важливим джерелом даних є матеріали зйомок на місцевості. Крім традиційних методів проведення знімальних робіт розповсюджене сьогодні використання GPS, електронних тахеометрів та інших геодезичних приладів. Використання цих приладів дозволяє отримувати просторово-координатні дані у цифровому вигляді і використовувати їх безпосередньо в середовищі ГІС, минаючи проміжні матеріали у вигляді карт-матеріалів на паперовій основі. Зберігання матеріалів безпосередньо в цифровій формі знімає проблему створення проміжних паперових карт. Використання даних приладів на великі території скорочує строки виконання робіт у 3-4 рази і приблизно у стільки ж їх здешевлює.

GPS – система глобального позиціонування – заснована на системі навігаційних супутників Землі NAVSTAR, яка створена Міністерством оборони США у 1979 році. Система GPS дозволяє визначити координати в будь–якій точці земної кулі, в будь-яку пору року, незалежно від погодних умов. Додаткові переваги GPS у порівняні з традиційними геодезичними методами проведення польових зйомок:

-відсутність потреби у взаємній видимості між пунктами;

-підвищення точності визначення координат;

-збільшення швидкості дії;

-можливість подачі тривимірних просторово-координованих об’єктів у плані та по висоті.

GPS заснована на визначені місця об’єкта за відстанями до супутників. GPS вимірює час, за який радіосигнал супутника доходить до приймача на Землі, а потім за цим часом обчислює відстань, що дозволяє одержувати відстань. Це потребує точних вимірів часу. Тому на кожному супутнику встановлені атомні годинники. Супутники та приймачі синхронізовані так, що вони генерують один і той же бінарний псевдо випадковий код одночасно.

Сузір’я GPS об’єднує в собі 24 супутники. Чим більшим числом каналів оснащений приймач, тим більше вимірювань може він виконувати, що, у свою чергу, підвищує його точність. Число використовуваних каналів обмежується кількістю супутників, які знаходяться над лінією горизонту. Для нормальної роботи приймачів необхідно мінімально 4 супутники, для багатьох сучасних моделей – 5, а для геодезичних – 6.

В Росії розроблена система ГЛОНАСС (Глобальна Навігаційна Супутникова Система) Військово-космічних сил Росії. Вона складається з 24 супутників. Вони безупинно генерують сигнали двох типів: навігаційний сигнал стандартної точності (СТ) у діапазоні L1 і навігаційний сигнал високої точності (ВТ) у діапазонах L1 і L2. Інформація, надана навігаційним сигналом СТ, доступна всім споживачам на постійній і глобальній основі. Сигнал ВТ призначений, в основному, для споживачів МО РФ, і його несанкціоноване використання обмежене. Для визначення просторових координат і точного часу потрібно прийняти й опрацювати навігаційні сигнали не менше ніж від 4 супутників ГЛОНАСС.

Спостережувані величини. Відповідно до концепції GPS

спостережуваними величинами є відстані, одержані з виміряного проміжку часу чи різниці фаз, визначених шляхом порівняння прийнятого та згенерованого приймачем сигналів. На відміну від наземних електронних вимірів відстаней в GPS використовується концепція однобічного (однонапрямленого) зв’язку із застосуванням двох годинників, а саме: одного

– на супутнику, а іншого – в приймачі. Отже, отримані відстані мають певний зсув, відповідний до похибок годинників на супутнику та в приймачі; тому вони позначаються як псевдо відстані (табл.1).

Таблиця 1

Систематичні зсуви відстаней

Джерело похибки

Вплив

Супутник

похибка орбіти

 

зсув годинника

Поширення сигналу

тропосферна рефракція

 

іоносферна рефракція

Приймач

зміни положення фазового центра

 

антени

 

зсув годинника

 

додаткове відбиття сигналу

Точність також визначається кількістю каналів, способом проведених вимірювань і процедурою обробки сигналів, геометрія супутників (розподіл супутників). При використанні двох приймачів можна ввести диференціальну GPS поправку (1. GPS - приймач приймає поправки, які передаються Сервісною Службою DGPS. 2. дані вимірів накопичуються в пам’яті базового приймача для наступного коригування разом з вимірами, отриманими від віддаленого приймача. Цей спосіб отримав назву - постообробка).

Призначення. Приймачі можна поділити за призначенням на декілька видів: ГІС-івські, туристичні, геодезичні, навігаційні, тощо.

GPS – приймачі, призначені для ГІС – застосування, дозволяють:

-до отриманої точки додати її опис;

-здійснювати зв’язок з комп’ютером;

-інтегрувати отримані дані з базою даних ГІС. Основні вимоги до проектування GPS мереж:

1.Пункти слід максимально наблизити до доріг;

2.Забезпечення довготривалого збереження пунктів, не підтоплення і не затоплення;

3.Пряма видимість між пунктами необов’язкова;

4.Відсутність великих відбиваючих поверхонь та перешкод для прийому радіосигналів від супутників;

5.В режимі кінематики слід забезпечити рух приймача без втрат захвату сузір’я супутників.

При розміщенні GPS пункту (маркера) враховується:

-довго тривалість його зберігання;

-не затоплення і не підтоплення;

-зручність під’їзду або доступу, якщо він знаходиться на даху будинку;

-наявність орієнтирних пунктів;

-відкритість місцевості до 500 м. (в закритих до 250м);

-наявність відбиваючих поверхонь, ретрансляторів, тощо;

-наявність перешкод при кутах місця більше 15 градусів;

-верифікацію установки антени.

Типи приймачів. Спираючись на тип величин, які спостерігаються (кодову псевдо відстань та фазу несучої хвилі), та на доступність коду для вимірів (С/А-коду та Р-коду), можна означити наступні типи GPS-приймачів радіосигналу з супутника:

-С/А-кодові з вимірюванням псевдо відстаней;

-С/А-кодові з вимірюванням фази несучої хвилі;;

-Р-кодові з вимірюванням фази несучої хвилі;

-Y-кодові з вимірюванням фази несучої хвилі.

С/А-кодові приймачі з вимірюванням псевдовідстаней. У приймачах цього типу вимірюються тільки кодові псевдо відстані з використанням псевдо відстані з використанням С/А-коду. Приймач виготовляється переважно як компак4тний наручний пристрій, електричне живлення якого можливе від міні батарейок. Типові моделі. Маючи від одного до шести

незалежних каналів прийому, подають або просторові геоцентричні координати (довгота, широта, висота), або координати у певній картографічній проекції. У ситуації, коли приймач використовується для вимірювань під час руху, доцільніше мати якомога більше каналів для спостереження, оскільки одночасно визначені відстані дадуть більш точні координати. З іншого боку, одно канальні приймачі цілком спроможні задовольнити користувача у випадку стаціонарної станції, коли можливий послідовний режим спостережень. Багатоканальний приймач цього типу можна широко використовуватись туристами, яхтсменами, автолюбителями, тощо.

С/А-кодові приймачі з вимірюванням фази несучої хвилі. У приймачах цього типу можна одержати кодові відстані та фазу несучої хвилі лише на частоті L1, оскільки С/А-код не накладається на частоту L2. Це означає, що немає даних на двох частотах.

Переважна більшість інструментів має не менше чотирьох незалежних каналів, у деяких – дванадцять. Для того щоб вимірювати фази на несучій хвилі L2, у приймачах цього типу використовуються додаткові пристрої, в яких реалізується який-небудь без кодовий метод. Недоліком цього методу є те, що відношення сигнал/шум цих вимірів стає суттєво меншим, ніж для С/А-кодових вимірів на частоті L1.

Приймачі цього типу знаходять застосування в усіх методах високоточної геодезичної зйомки: статичних, кінематичних, псевдо кінематичних тощо.

Р-кодові приймачі. У приймачах цього типу використовується Р-код, що дає можливість стежити за несучими хвилями на частотах L1 і L2. Дані Р- коду отримуються з несучих хвиль шляхом кореляції з точною його копією, яка генерується у приймачі. Слід усунути кодові компоненти прийнятого з супутника сигналу, перш ніж стане можливим спостереження фази.

За цим методом точність визначення великих за довжиною векторів (100 км) стала дорівнювати кільком сантиметрам, а застосування методу лінійної комбінації величин фаз несучих хвиль на частотах L1 і L2, дає можливість обчислити вектори середньої довжини (20 км) з тією ж точністю, але із даних відносно короткого десятихвилинного сеансу спостережень.

Y-кодові приймачі. У приймачах цього типу забезпечується доступність Р-коду за умови ввімкнення А-S коду. Однак доступ до АОС (додаткова інтегрована мікросхема, шляхом підключення якої досягається доступ до Р- коду) мають лише користувачі, уповноважені МО США.

Електронний тахеометр – це геодезичний прилад, основним призначенням якого є вимірювання горизонтальних, вертикальних кутів і відстаней.

Сучасні тахеометри мають вмонтований мікропроцесор, який дозволяє виконувати необхідні геодезисту операції з даними (обчислення, запис до пам’яті, редагування тощо) і роз’єднувач для підключення до зовнішніх пристроїв, наприклад комп’ютера. Таким чином, електронний тахеометр

можна вважати спеціалізованим комп’ютером, призначеним для збору польової інформації.

Для зйомки необхідно тахеометр встановити на точку, координати якої тахеометр обчислить зі зворотної засічки. Задаючи висоту інструменту і відбивача, виконавець вводить ім’я та номер точки, код об’єкта і починає вимірювання. Тахеометр вимірює вертикальний і горизонтальний кути на відбивач, обчислює за цими даними координати пікету і записує їх у вмонтований накопичувач або на РСМСІА-карту. Такі прилади не тільки, доповнюють апаратуру для супутникових спостережень, але й можуть використовуватись самостійно при створенні геодезичного обґрунтування й виконання власне знімальних робіт. Великою перевагою є можливість автоматичної реєстрації вимірів та їх експорту в ПЗ ГІС, що зменшує вірогідність появи помилок і підвищує продуктивність праці.

GPS-приймачі та електронні тахеометри можуть використовуватись для прив’язки ДДЗ до реальних об’єктів на місцевості і для уточнення кутів і відстаней між об’єктами.

Інші джерела даних. Статистичні матеріали є джерелом атрибутивних даних. У зв’язку із великою кількістю різних управлінь в нашій державі, то є можливість отримувати величезну кількість атрибутивної інформації, хоча й сумнівної якості.

Велику кількість інформації можна отримати через Інтернет, що є перевагою з погляду на останні тенденції розвитку Інтернет-технологій в нашій країні.

Текстові матеріали - містять описову частину ГІС. Разом зі спеціалізованим програмним забезпеченням ГІС можуть використовуватися різні офісні пакети і може бути налагоджений гарячий зв’язок між просторовими об’єктами, атрибутивним даними про них і текстовими даними. Які повністю і всебічно описують певний об’єкт.

Важливим джерелом даних також може бути різного роду довідкова література, результати лабораторних досліджень.

Одним із найважливіших і трудомістких етапів ГІС є етап вводу інформації. Він іде після того, як ГІС спланована, визначені завдання, які вона буде вирішувати, моделі та джерела даних.

Вибираючи потрібну технологію вводу, необхідно враховувати ряд факторів, таких як: оцінка характеру даних, що піддаються обробці; мета; вартість програмного продукту; трудові затрати; кількість матеріалів та ін. Правильна підготовка вихідних даних може скоротити витрати й час, які необхідні для етапу вводу даних у ГІС.

Найважливішим завданням є створення цифрових карт тієї області, яку буде обслуговувати ГІС. На це сильно впливає підсистема збору даних, яка визначає типи джерел. Якщо цифрова карта, що цікавить, належить іншим організаціям, то все завдання зводиться до її купівлі (і конвертування, якщо це необхідно, в такий формат, з яким працює ПЗ ГІС), необхідних проекційних перетворень і наповнення її атрибутивною інформацією.

Автоматизована побудова об’єктів відбувається за результатами вимірів GPS приймачами та електро тахеометрами.

Атрибутивні дані вводяться, в основному, з клавіатури або із уже існуючих БД, хоч іноді такий спосіб застосовується і для просторових даних.

Для растрової моделі даних оцифровка проводиться шляхом сканування вихідних картографічних матеріалів.

Для векторної моделі даних розрізняють дві технології оцифровки вихідних даних: шляхом сканування картографічних матеріалів з їх наступною векторизацією спеціальним ПЗ або шляхом дигіталізації.

На якість відсканованого зображення впливає роздільна здатність сканера (не менше 300*300 точок на дюйм) і його точність (не більше 0,1%). Для корегування растра застосовуються спеціальні програми.

Традиційною технологією оцифровки вважається дигітайзерна. Дигітайзер – пристрій для ручного шифрування картографічної і

графічної документації, тобто перетворення її в цифрову форму у вигляді послідовності точок, положення яких описується прямокутними декартовими координатами площини цифрувала, за допомогою курсору з клавіатурою і хрестовидним курсором у різних режимах: з по точковим або потоковим вводом, коли генерується потік координатних пар через рівні проміжки часу чи інтервали простору.

Оцифровка полягає в обведені контурів усіх об’єктів карти. Для оцифровки карту потрібно закріпити на поверхні стола. Якщо карта має координатну сітку або відомі опорні точки, то можна використати їх як реєстраційні точки. Якщо їх немає, то можна вибрати мінімум чотири різних місцезнаходження, таких як перехрестя доріг, кути великих будівель, вишки й таке інше, і позначити на карті олівцем, надаючи кожній точці унікальний номер і записуючи їх реальні географічні координати. Точність оцифровки буде залежати від кількості реєстраційних точок.

Якщо невідомі реальні географічні координати реєстраційних точок, можна оцифровувати карту в одиницях дигітайзера, тобто можна оцифрувати, а потім уточнити реальні географічні координати.

Точність вводу залежить від різних факторів:

-картографічних помилок на оригіналах карт;

-помилок при прив’язці карт за реєстраційними точками;

-помилок при визначені координат точок чи при позиціонуванні курсора на полі дигітайзера під час оцифровки;

-масштабу;

-похибок матеріалу оригіналу.

Середня точність вводу при оцифровці складає – 0,25 мм. Дигітайзерну технологію оцифровки краще за все використовувати для

цифрування картографічного матеріалу, який має нестандартний розмір, масштаб, систему координат, погану якість вихідного матеріалу, його велику складність, велику кількість перехресних символів і тексту, наявність пропусків. Перевагами цього способу є: простота навчання, невелика залежність від якості вихідного матеріалу, відпрацьована методика.

Дигітайзерний метод ефективний при невеликих обсягах картографічних надходжень.

Сканування картографічного матеріалу з подальшою векторизацією набувають в останній час великого розповсюдження. Сканери перетворюють картографічний оригінал в растрову модель з високою точністю і роздільною здатністю всього за кілька хвилин.

У більшості ГІС зображення подається у вигляді лінійних, площинних і точкових об’єктів, заданих координатами, тобто у векторній моделі. Знаючи докорінні відміності подання зображення у растрових і векторних моделях, можна легко зрозуміти, в чому полягає процес векторизації.

За своєю сутністю – це заміна сукупності растрових точок на векторні примітиви, які є їх геометричними аналогами. Растрове зображення є ніби „підкладкою” у процесі векторизації. Векторизація буває трьох видів: ручна, автоматична, напівавтоматична.

Завданням векторизації є більш повний і точний ввід даних з вихідного картографічного джерела з одночасним формуванням лінійно-вузлової структури і паралельним введенням атрибутивної інформації.

При векторизації вирішуються такі завдання:

-мінімізація числа векторних примітивів (дві лінії різних шарів, які перетинаються повинні залишатися двома лініями, а не чотирма, які зійшлися в одній точці);

-оновлення інформації, частково втраченої чи спотвореної через знос паперового носія; дефекти інструментів для креслення; дефекти виконання; похибки сканування;

-„розшарування” зображення за його смисловим змістом (наприклад, шарів рельєфу, автодоріг, меж земельних ділянок та ін.);

-введення атрибутивної інформації для графічного об’єкта; побудова коректної топологічної структури, що відповідає вимогам ГІС.

Векторний формат даних – це спосіб представлення графічних даних в пам’яті комп’ютера за допомогою належним чином організованих множин координат точок, векторів тощо. Векторні моделі даних будуються на векторах, які займають частину простору. Це визначає основну їх перевагу перед растровими – потребується на порядок менше пам’яті для їх зберігання і менших витрат часу на обробку і представлення.

Векторні моделі використовуються переважно у транспортних, комунальних, маркетингових додатках ГІС. Системи ГІС, які працюють в основному з векторними моделями, отримали назву векторних ГІС.

В реальних геоінформаційних системах мають справу не з абстрактними лініями і точками, а з об’єктами, які включають ці графічні примітиви та взаємозв’язки між ними. Тому повна векторна модель даних ГІС відображає просторові дані як сукупність трьох основних складових:

-геометричні об єкти (точки, лінії, полігони);

-атрибути, які виступають ознаками зв язаними з об єктами;

-зв’язки між об єктами.

2.1. Організація даних в програмному середовищі ГІС.

База даних ЦММ включає два типи даних, що описують об’єкт: просторові і описові (атрибутивні). Вони зберігаються комп’ютером у вигляді наборів файлів, які мають просторові або описові дані про об’єкти карти. Також обидва види даних можуть міститись в одному файлі.

Перевага ГІС полягає у поєднанні цих двох типів даних і підтримці просторових зв’язків між об’єктами карти.

Можна отримати доступ до інформації в атрибутивній базі даних через карту або створити карти на основі цієї інформації. Щоб мати доступ до цих даних, відображати й опрацьовувати їх, комп’ютер повинен зберігати як графічні так і табличні дані про об’єкти в такому вигляді, щоб їх можна було легко знаходити й діставати.

Просторові об’єкти подаються в ГІС у так званому графічному середовищі. Об’єкти можуть мати різну розмірність у геометричному значенні – бути точковими, лінійними і площадними.

Основу графічного середовища бази даних ГІС складають векторні та растрові моделі. У загальному випадку моделі просторових даних можуть мати векторне або растрове подання, бути топологічними чи ні.

Цей підхід дозволяє класифікувати моделі за трьома типами:

-растрова модель;

-векторна топологічна модель;

-векторна модель не топологічна.

Векторні дані традиційно використовуються в більшості ГІС для подання інформації, що має об’єктну природу і потребує аналізу та маніпулювання. Як показує назва, вони зберігаються у вигляді точок і ліній, зв’язаних геометрично та математично. Ці зв’язки означають, що інформація може тлумачитись як серія індивідуальних точок, а може утворювати нові складні структури даних. Наявність атрибутів дозволяє інтерпретувати інформацію за предметною сферою застосування. Для більшості ГІС потрібно, щоб дані були подані у векторній моделі, хоч у ряді систем допускається використання растра як „підкладки” або як атрибута (зображення).

Багато ГІС використовує растрову модель для подання інформації про безперервні поля (рельєф, температуру та ін.). У деяких системах растрова модель є основною і на ній реалізовано багато функцій просторового аналізу.

Одних просторових даних недостатньо для опису картографічної чи складної графічної інформації. Картографічні об’єкти мають і описову інформацію, яка називається атрибутивною або семантичною (смисловою).

Сукупність можливих атрибутів визначає клас атрибутивних моделей ГІС. Атрибутивні дані зберігаються в таблицях.

Застосування атрибутів дозволяє здійснювати аналіз об’єктів бази даних з використанням стандартних операцій, що підвищує ефективність при тематичному картографуванні. Крім того, за допомогою атрибутів можна

типізувати дані та впорядкувати опис для широкого набору некоординатних даних.

Таким чином, атрибутивний опис доповнює координатний, разом з ним створює повний опис моделі ГІС і вирішує завдання типізації вихідних даних

іцим спрощує процеси класифікації та обробки.

Узалежності від того, яке завдання потрібно вирішувати ГІС і яку модель подання просторових даних буде обрано для побудови власної ГІС, буде різна організація побудови. А це, у свою чергу, зумовить комплектацію апаратних засобів і, відповідно, різними будуть витрати.

Інформація на карті звичайно подається у вигляді набору графічних компонентів карти. Вона може бути зведена до трьох елементарних геометричних типів об’єктів-примітивів: точок, ліній, обмежених фігур (полігонів).

Точковий об’єкт – подається окремою дискретною позицією однією парою координат і визначає об’єкт карти, який дуже малий, щоб показати його лінією чи контуром. Такий об’єкт може зображувати точку, яка взагалі не має площі, наприклад, висотну позначку. Вибір об’єктів, поданих у вигляді точок, залежить від масштабу карти чи дослідження.

Лінійний об’єкт – подається впорядкованим набором координат, які будучи з’єднаними, показують подовжену форму об’єкта, занадто вузького, щоб можна було зобразити його площину. Або це може бути об’єкт, який взагалі не має ширини, наприклад, ізолінія. Вони широко використовуються для опису мереж.

Площинний об’єкт – це замкнена лінійна фігура, яка обмежує однорідну, в деякому розумінні, територію, наприклад, водойму, район, будівлю.

2.2. Векторні та растрові шари даних, для задачі автоматизації процесу оренди нерухомості.

Растровий шар: 1.карта-підкладка, 2.аерофотознімок. Векторні шари:

Полігональні:

1.Нерухомість: квартири; кімнати; офіси; будинки; будинок під офіс; приміщення для складу; приміщення під торгівлю; приміщення під іншу економічну діяльність; обтяження сервітутами; обтяження орендою; обтяження суборендою.

2.Гідрографія: річки, озера, болота, канали.

3.Площі.

4.Майданчики: дитячі, спортивні, для вигулу собак.

5.Учбові заклади: дитячі садки, школи, університети, коледжі тощо.

6.Зелені насадження: парки, ліс, при будинкові насадження тощо.

7.Великі підприємства: заводи, фабрики тощо.

8.Стоянки машин.

9.Інші багатоповерхові споруди.

10.Інші одно-, двоповерхові споруди.

Лінійні: Доріжки.

Гідрографія: річки, канали.

Дорожня розв’язка: дороги, пішохідні доріжки тощо. Високовольтні ЛЕП.

Залізничні дороги

Точкові: Поодинокі дерева.

Зупинки громадського транспорту і станції метро. Місцеві звалища сміття.

4. Підземні переходи.

Векторний формат даних включає векторно-топологічну модель даних і векторну нетопологічну. Топологічна модель є більш складною порівняно з нетопологічною, але набагато ефективнішою у використанні. Прикладом векторного топологічного формату є множина зв’язаних між собою реляційних таблиць.

Векторні моделі порівняно з растровими мають ряд переваг:

багато додатків, які використовують графіку для розрахунків, працють лише з векторними файлами, оскільки векторна технологія є більш ефективною;

при зберіганні даних на комп’ютері, векторні файли займають порівняно з растровими в 100-1000 раз менший об’єм пам’яті;

ефективність у відображенні топології;

векторні зображення легко редагуються, їх трасформування здійснюється без спотворень;

у векторному форматі легше проводяться операції з лінійними і

точковими об’єктами, наприклад, аналіз мережі – розробка маршрутів руху по мережі доріг, заміна умовних позначень.

Роль у розв’язуванні задачі математичного апарату матричних перетворень та однорідних координат. Особливості реалізації 2D/3Dпаралельних перенесень, обертань та масштабувань, їх композицій.

З проективної геометрії загальновідомо, що будь-яке складне геометричне перетворення S, яке змінює розташування, розміри та форму графічних об’єктів на 2D-площині або в 3D-просторі, можна подати у вигляді композиції елементарних афінних геометричних перетворень наступних трьох базових типів:

паралельне перенесення (translation) на будь-який заданий вектор ( , ) на 2D-площині або ( , , ) у 3D-просторі ( , , – довільні дійсні числа);

обертання (rotation) на заданий кут (0 <2 ) відносно початку координат на 2D-площині або відносно будь-якої з координатних осей (абсцис, ординат, аплікат) у 3D-просторі;

масштабування (dilatation) – розтягування або стискання відносно початку координат з дійсніми коефіцієнтами масштабування dx > 0 та dy > 0 уздовж координатних осей на 2D-площині, або dx > 0, dy > 0, dz > 0 у 3D-просторі.

Найчастіше складний графічний об’єкт розбивають на елементарні параметризовані примітиви (трикутники, чотирикутники тощо), які однозначно визначають їх опорні точки (вершини, цент-ри ваги тощо) та опорні розміри, а геометричні перетворення застосовують до сукупності примітивів (доволі часто – до масиву опорних точок графічного об’єкту).

У процесі розв’язування задач побудови композицій геометричних перетворень, у комп’ютерній графіці важливу роль відіграє математичний апарат матричних перетворень та однорідних координат.

Математичні моделі базових афінних геометричних перетворень на 2D– площині. Будь-яке відбиття, що здійснює перехід від однієї точки A(x,y) у декартовій системі координат на 2D-площині до іншої A (x ,y ), або від однієї декартової системи координат до іншої, може бути описане за допомогою композиції формул, наведених у табл.2.1.

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 2.1.

 

Математичний опис базових афінних геометричних 2D-перетворень

 

Тип перетворення

 

 

Формули, що реалізують перетворення

 

 

 

матрична форма

розгорнута форма

 

 

 

 

 

1. Паралельне

x', y' x,

y T

x' x

 

перенесення на вектор

T ,

 

y' y

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Обертання на кут

x', y' x, y * R

x' xcos y sin

 

 

 

cos

sin

 

 

 

 

y' xsin y cos

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

3. Масштабування з

 

 

 

 

* D

x' dx * x

 

 

x', y' x, y

 

 

 

коефіцієнтами dx та dy

 

dx

0

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

y' dy * y

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

З таблиці видно, що паралельне перенесення реалізоване в матричному поданні за допомогою операції додавання, а обертання та масштабування – за допомогою операції множення. Це викликає ускладнення в процесі реалізації обчислень.

Вказаних ускладнень можна уникнути, якщо застосовувати однорідні координати. У табл.2.2 показано, що введення в обчислення однорідних координат дозволяє реалізувати всі перетворення на базі операції множення матриць.

Математичні моделі базових афінних геометричних перетворень у 3D- просторі. Аналогічно табл. 2.2, здійснюють математичний опис базових

афінних перетворень в однорідних координатах у 3D-просторі – це наочно демонструє зміст табл.2.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 2.2

 

Математичний опис базових афінних геометричних 2D-перетворень в

 

 

 

однорідних координатах

 

Тип

 

 

 

 

Формули, що реалізують перетворення

 

перетворення

 

 

 

матрична форма

розгорнута форма

 

1.Паралельне

x', y',1 x, y,1 *T

x' x

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перенесення на вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , )

T 0

1 0

 

y' y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Обертання на кут

x', y',1 x, y,1 *R

 

 

 

 

cos

sin

0

x' xcos ysin

 

відносно початку

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

координат

R sin

0

y' xsin ycos

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3.Масштабування з

x', y',1 x, y,1 * D

 

 

 

коефіцієнтами dx та dy

 

dx

0

0

 

 

x' dx * x

 

 

 

 

 

відносно початку

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

D 0

0

 

 

y' dy * y

 

координат

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4.Довільна ком-

x', y',1 x, y,1 * S

 

 

 

a1

a2

0

x' a1x b2 y c1

 

позиція перетво-рень

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

(загальний вигляд)

S b1

0

y' a2 x b2 y c2

 

 

 

c1

c

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Таблиця 2.3 Математичний опис базових афінних геометричних перетворень в

однорідних координатах у 3D-просторі

Формули, що реалізують перетворення

Тип перетворення розгорнута матрична форма

форма

 

 

x', y', z',1 x, y,z,1 T

 

1.Пара-лельне

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x' x

перенесення на

заданий

 

0

1

0

0

 

 

 

T

 

0

0

1

0

 

y' y

вектор ( , , )

 

 

 

 

 

 

1

 

z' z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження Таблиці 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x',y',z',1 x,y,z,1 Rx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

x' x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Обертання на кут x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

cos x

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

zsin x

 

0

 

 

0

 

 

 

 

y' ycos x

 

 

відносно осі абcцис

Rx

 

 

sin x

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zcos x

 

 

0

 

0

 

 

 

 

z' ysin x

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x', y',z',1 x, y,z,1 Ry

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos y

 

0

sin y

0

 

x' xcos y zsin y

3.Обертання на кут y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

y' y

 

 

 

 

 

 

відносно осі ординат

 

 

Ry

 

 

 

 

 

0

cos y

 

 

 

 

 

 

 

zcos y

 

 

 

 

sin y

 

 

 

0

 

z' xsin y

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x' , y' , z' ,1 x, y, z,1 Rz( )

 

 

 

x' xcos z

 

ysin z

 

 

 

 

 

 

cos

z

 

sin

z

0

0

 

4.Обертання на кут z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos z 0

 

 

 

y cos z

 

 

( )

 

sin z

0

y' xsin z

 

відносно осі аплікат

 

 

Rz

 

 

 

0

 

 

 

0

 

1

 

z' z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Масштабування

 

 

x', y', z',1 x, y, z,1 D

 

x' d

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

d

x

 

 

0

 

0

 

0

 

 

x

 

 

відносно початку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

d y

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' dy y

 

 

координат з коефіці-

 

 

D

 

0

 

 

0

dz

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z' dz z

 

 

єнтами dx, dy, dz

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x', y', z',1 x, y, z,1 S

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Довільна композиція

 

 

 

 

a

 

a

2

a

3

0

 

x' a1x b2y c1z d1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

b2

b3

0

 

y' a x b y c z d

перетворень (за-гальний

 

 

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

2

 

 

 

S

 

c2

c3

0

 

 

z' a x b y c z d

вигляд)

 

 

 

 

 

 

 

d

 

d

 

1

 

 

 

3

3

 

 

3

3

 

 

 

 

 

d

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основною відмінністю є те, що на 2D-площині базове перетворення обертання визначене відносно початку координат та реалізоване однією формулою, а в 3D-просторі воно визначене відносно кожної з трьох координатних осей та описане за допомогою трьох формул.

У плані ефективності обчислень, доцільним є вибір матричної форми подання тих формул, які реалізують базові афінні гео-метричні перетворення (сучасні об’єктно-орієнтовані візуальні гра-фічні середовища дозволяють ефективно працювати з матрицями, що визначені як класи та об’єкти).

На практиці у переважній більшості випадків необхідно здійснювати композиції базових афінних геометричних перетворень. Процес отримання математичної моделі складного геометричного перетворення містить декілька етапів.

Етап 1. У процесі аналізу складного геометричного перетворення, формують перелік та фіксують порядок здійснення тих базових афінних геометричних перетворень, композиція яких його складає.

Етап 2. Обчислюють конкретні значення параметрів (координат векторів перенесення, кутів обертання, коефіцієнтів масштабування), що необхідні для реалізації цих базових геометричних перетворень (часто етапи 1, 2 виконують паралельно).

Етап 3. Для кожного з виділених базових геометричних перетворень формують матрицю, що буде його реалізовувати, відповідно до табл.2.2, 2.3.

Етап 4. Отримують матрицю S композиції визначених вище базових геометричних перетворень, виконуючи операцію знаходження добутку матриць, що були побудовані на етапі 3, у порядку їх побудови.

Приклади розв’язування задач на композиції афінних геометричних перетворень в однорідних координатах.

Задача 1. Побудуйте математичну модель геометричного перетворення обертання на кут навколо довільної точки С0(x0,y0) для многокутника, заданого масивом вершин на 2D-площині.

Побудуємо математичну модель 2D-обертання для узагальненої вершини, а потім застосуємо її для кожної вершини многокутника.

Етап 1. Для реалізації геометричного перетворення обертання на кут навколо довільної точки C0(x0,y0) деякої узагальненої вершини K(xk,yk), необхідно здійснити композицію: паралельного перенесення на вектор t(-)(– x0,–y0) для суміщення центру обертання з початком координат; обертання навколо початку координат на кут ; паралельного перенесення на вектор t(+)(x0,y0) з метою повернути центр обертання з початку координат до початкового положення C0(x0,y0).

Етап 2. Сформуємо для кожного з цих базових геометричних перетворень матриці, що їх реалізують, відповідно до табл.2.2:

матрицю паралельного перенесення на вектор ( x0 , y0 )

 

 

 

1

0

0

(2.1)

T x

 

 

 

 

 

, y

 

0

1

0

0

0

 

x0

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

та матрицю обертання навколо початку координат на кут

( )

 

cos

sin

0

(2.2)

 

 

 

 

 

R 0 sin

cos

0

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

Етап 3. Отримаємо матрицю S x0 , y0 , композиції визначених вище базових афінних геометричних перетворень:

S x , y

, T x

, y

R( )

T x

, y

;

(2.3)

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

1

0

0

 

cos

sin

0

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S x 0 , y0 ,

0

1

0

sin

cos

0

 

 

0

1

0

 

 

 

x 0

y 0

1

 

 

0

0

1

 

x 0

y 0

1

 

(2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

sin

 

 

0

 

 

 

sin

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x 0

cos y 0

sin x 0

x 0

sin y 0

cos y 0

1

 

 

 

Тепер достатньо вектор-рядок координат (xk,yk) кожної вершини початкового многокутника домножити на матрицю (2.4), отримавши координати вершин оберненого багатокутника, та з’єд-нати нові вершини відрізками.

Задача 2. Побудуйте математичну модель складного геометричного 3Dперетворення обертання на кут навколо довільної прямої l, що проходить крізь точку C0(x0,y0,z0) та має визначений одиничний напрямний вектор

n(nx,ny,nz) (рис.2.1).

 

 

 

z

Етап 1. Для того, щоб виконати обертання

 

 

відносно довільної прямої, що, в найбільш

n(nx,ny,nz)

загальному випадку, не проходить крізь

K C0(x0,y0,z0)

початок

координат,

не

співпадає

з

 

K

координатною віссю, не лежить в координатній

 

 

 

 

 

 

площині та однозначно визначена за

 

 

 

допомогою фіксованої точки та напрямного

 

 

 

одиничного вектору (nx2+ ny2+ nz2 = 1),

 

 

x

необхідно

здійснити

композицію наступних

y

базових афінних геометричних перетворень.

 

Рис.2.1. Ілюстрація до постановки

По-перше, це перетворення паралельного

 

 

 

перенесення на вектор t(–)(–x0,–y0,–z0,0). Ця дія суміщає точку С0(x0,y0,z0,1) з точкою О(0,0,0,1) для того, щоб пряма l пройшла крізь початок координат.

По-друге, це обертання осі z відносно початку координат на деякий кут Θ для суміщення образу цієї осі z з прямою l.

Це обертання є складним та повинно бути розкладене на елементарні обертання навколо окремих координатних осей.

Наприклад, його можна подати як композицію таких двох обертань: а) обертання осі z навколо осі x на деякий кут Θ1, у межах площини zОy (x = 0), для суміщення образу цієї осі з ортогональною проекцією z прямої l на площину zОy; б) обертання образу z осі z навколо відповідного образу осі y на деякий кут Θ2 для суміщення отриманого таким чином образу z осі z з прямою l.

Визначимо кут Θ1. Оскільки z є ортогональною проекцією l на площину x=0, а напрямний вектор l в однорідних координатах дорівнює (nx,ny,nz,1), то напрямний вектор z в однорідних координатах дорівнює (0,ny,nz,1). Звідси, з прямокутного трикутника OVQ з катетами ny, nz та гострим кутом Θ1 при катеті nz (рис 2.2), маємо:

sin

 

ny

,

 

 

nz

 

 

 

 

 

(2.5)

cos

 

,

d n2

n2 .

1

 

d

1

 

d

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначимо кут Θ2. Враховуючи результати визначення кута Θ1, із прямокутного трикутника OQR з катетами nx та d, гіпотенузою одиничної

довжини та гострим кутом Θ2

при катеті d, маємо: cos 2 d , sin 2 nx .

 

 

По-третє, це обертання навколо образу осі аплікат z*, що співпадає з

прямою l, на кут ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По-четверте, це композиція обертань навколо осі y на кут –Θ2 та

навколо осі x на кут –Θ1

для повертання осі аплікат до початкової позиції;

По-п’яте, це перенесення на вектор t(+)(-x0,-y0,-z0,1)

 

 

 

 

 

 

 

для повертання точки С0

 

 

 

Θ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до початкової позиції.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Етап 2. Запишемо матриці цих перетворень. В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

процесі множення матриць повинен бути дотриманий

0

 

 

 

z

 

правильний порядок перетворень обертання:

 

 

Θ1

V z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

d

 

Q z'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S T

 

 

R 1

R 2

R R 2

R 1

T

 

 

y

 

 

 

 

 

 

,y0,z0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x0 , y0 , z0 )

x

y

z

y

 

x

(x0

 

(2.6)

Рис.2.2. Ілюстрація

T

 

R R R T

 

.

 

 

 

 

, y0, z0 )

,y0,z0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x0

 

 

z*

(x0

 

 

 

 

 

до розв’язку задачі 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишемо конкретні значення тих матриць, які є складовими частинами формули (2.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T( x0, y0, z0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

d

0

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

( )

 

0 nz /d

ny /d 0

( )

 

0

1 0 0

R

1

0 n

/d n

 

 

,

R

2

 

n

 

 

 

 

 

,

 

x

 

/d 0

y

 

 

 

 

 

0 d 0

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

0

 

n

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nz / d

ny

 

 

R

( )

R

( )

R

( )

 

nxny / d

 

 

 

0

 

x

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

/ d

ny / d nz

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nxnz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

sin

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

sin

cos

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rz

 

0

 

0

1

 

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

n

x

n

y

/ d n

n

z

/ d 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

R

( )

 

 

( )

 

( )

0

nz / d ny / d

0

 

 

Ry

 

2

Rx

1

 

nx

 

 

 

ny

 

 

 

nz

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]