![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Лабораторные работы 1-7
.pdf![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r51x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
3a |
|
|
− |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
a2 |
−36 |
+ |
6(a −6) |
17. |
|
a3 − a2 +5a + 26 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
+16 |
a + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 −5a2 +17a −13 |
|
|||||||||||||||||||||||
a + |
|
|
|
|
|
a2 +12a +36 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
16b |
|
|
|
+ |
4 |
−b |
|
4 +b |
|
− |
|
4 |
|
|
|
|
18. |
|
a3 + a2 − 2a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 −b |
2 |
|
4 |
+b |
4 |
|
|
4 |
−b |
|
|
|
|
− a(a + 2)− a |
2 |
+ 4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9. |
|
2(a +5)− a + 25a−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
a2 − 4 −(a − 2) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3a2 +10a − 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 + 2a2 −5a −6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
a2 |
−10a + 25 |
|
|
|
20. |
|
m(m −3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a +5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m2 − m −6)m |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Используя операцию Solve for variable: а) выразить каждую переменную через другие; б) решить уравнение; в) решить неравенство.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
в) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
1 |
= |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 +3x − 4 > 0 |
|||||||
|
|
b |
|
2x + |
3 |
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
V = πR2 H |
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
− x2 +10x −16 > 0 |
||||||||||||||||||
|
20 − x |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
|
|
nmv2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− x2 +3x − 2 < 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 −3x |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
v = 2gh |
|
|
|
x |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
3x2 − 2x −1 < 0 |
|||||||||||||||||||||
|
x +12 |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
|
S = |
abc |
|
|
|
|
|
6 |
|
+ |
|
|
6 |
|
|
|
|
= 5 |
2x2 −3x −5 > 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
|
1 |
= |
|
|
1 |
− |
|
1 |
|
|
3 |
+ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= 4 |
− x2 − x +12 > 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
x |
x + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
|
S = 2πR(R + H ) |
1 |
|
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
=1 |
− x2 +3x + 4 > 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
ω = |
1 |
|
|
|
|
3 |
− |
|
|
3 |
|
|
|
|
=1 |
|
x2 − x −6 > 0 |
|||||||||||||||||
|
LC |
|
|
|
x |
|
x + 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
t = |
2h |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
+ |
4 |
|
|
= 3 |
2x2 −3x − 2 > 0 |
|||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
x +3 |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10. |
Q = Cm(b − a) |
5 |
|
+ |
|
|
4 |
|
|
|
|
= 3 |
2x2 +5x −3 > 0 |
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x −3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11. |
|
1 |
= |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
1 |
x2 |
− x + 2 = 0 |
|
x + 2 |
> 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r52x1.jpg)
12. |
V = πR2 H |
|
1 |
|
x2 |
+ 2x +3 = 0 |
|
|
x +5 |
|
> 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
x −3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
|
|
|
|
|
nmv2 |
1 |
x |
2 |
|
1 |
x +1 = 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
v = |
|
2gh |
|
1 |
x2 |
− |
4 |
x +3 = 0 |
|
|
x − 4 |
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
3 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. |
|
S = |
abc |
|
|
|
3x2 |
+9 =12x − x2 |
|
|
1 |
|
|
≤ − |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
4R |
|
|
|
|
x −3 |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16. |
|
1 |
= |
|
|
1 |
− |
1 |
|
5x2 |
+1 = 6x − 4x2 |
|
|
x −10 |
>1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17. |
|
S = 2πR(R + H ) |
(10x − 4)(3x + 2)= 0 |
|
|
x +5 |
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
17. |
ω = |
1 |
|
|
|
(x −1)(5x + 0,5)= 0 |
|
|
3x + 2 |
≥ 0 |
|||||||||||||||||||||||
|
LC |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
19. |
t = |
2h |
|
|
(3x +1)(6 − 4x)= 0 |
|
|
x −10 |
≤1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
20. |
Q = Cm(b − a) |
6(10 − x)(3x + 4)= 0 |
|
|
x + 2 |
|
> 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 − x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r53x1.jpg)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 Тема: Дифференцирование функций одной переменной
Цель работы: Научиться вычислять производные первого и высших порядков.
Производные в MathCAD можно вычислять символьно и численно. В первом случае ответом будет выражение, во втором – число, равное значению производной в некоторой, заранее заданной точке.
7.1. Производные первого порядка
Чтобы вычислить значение производной в точке, необходимо:
1.Задать точку, в которой требуется вычислить производную.
2.Вызвать шаблон для вычисления производной dd≡ ≡ либо клавишей [?]
(на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления».
3.В поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная, в свободное поле знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование.
4.Набрать знак равенства и щелкнуть мышью вне выражения. Замечание. Если требуется вычислить значение производной в
нескольких точках, то чтобы не набирать каждый раз функцию, ее удобно задать предварительно.
Пример 1. Вычислим значение производной от функции y = 2x2 +5x +1 в
точке x = 2 .
Решение.
56
x := 2
d ( 2 |
) |
|
|
|
||
x |
+ 5 x + 1 = 9 |
|
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислим значение производной от функции y = sin 2 x + |
1 |
|||||
tg x +1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
в точках x = −π , |
x = 0 , x = |
π . |
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
Решение. Задаем функцию |
|
|||||
y(x) := sin(x)2 + |
|
1 |
|
|
||
tan(x) + 1 |
|
|||||
|
|
|
Вычисляем значения производной от заданной функции в каждой заданной точке
x := −π
d y(x) = −1 dx
x := 0
d y(x) = −1 dx
x := π4
d y(x) = 0.5 dx
Можно найти значения производной в нескольких точках из заданного отрезка с некоторым шагом. Для этого переменную, по которой производится дифференцирование, необходимо задать как дискретную переменную.
Пример 3. Вычислим значения производной от функции y = −x2 + 2x −1 в
точках отрезка [-3; 3] с шагом 0,5.
Решение. Задаем х как дискретную переменную:
x := −3,−2.5.. 3
57
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r55x1.jpg)
Задаем функцию:
y(x) := −x2 + 2 x − 1
Выводим таблицы значений переменной х и значений производной от заданной функции в соответствующих точках:
x = |
d y(x) = |
||
dx |
|||
-3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
-2.5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
-2 |
|
|
|
|
|
2.5 |
|
-3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
-4 |
|
|
|
|
|
Чтобы вычислить производную символьно, необходимо:
1.Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.
2.Вызвать шаблон для вычисления производной.
3.Заполнить шаблон так, как указано выше.
4.Вычислить производную символьно.
Аналогично вычислению значению производной в точке при символьном вычислении производной функцию можно задавать предварительно.
Пример 4. Найдем производную от функции y = sin x + |
1 . |
|
x |
Решение. |
|
d |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x) + |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (x) |
dx |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin(x) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 x2
58
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r56x1.jpg)
Пример 5. Найдем производную от функции |
|
|
|
x |
|
5 |
||||||||||||||||||||
|
f (x) = sin |
|
−3ln x . |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) := |
|
sin |
x |
|
− 3 ln(x) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
f(x) |
→ 5 |
|
sin |
|
x |
− |
3 ln(x) |
|
|
|
cos |
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2. Производные высших порядков
Производные высших порядков находятся так же, как и производные первого порядка, с тем лишь отличием, что теперь следует вызывать шаблон
производной порядка п |
d ≡ |
≡. Сделать это можно либо сочетанием клавиш |
|
d ≡≡ |
|||
|
|
[Ctrl] и [?] (на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления». При заполнении шаблона необходимо в поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная. В свободные поля под чертой дроби знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование, и указать порядок производной. Свободное поле над чертой дроби заполнится автоматически.
Пример 6. Найдем значения второй, третьей и четвертой производных от функции y = sin x + cos 2x в точке x = π .
Решение.
x := π
d2 (sin(x) + cos (2 x)) = −4 dx2
d3 (sin(x) + cos (2 x)) = 1 dx3
d4 (sin(x) + cos (2 x)) = 16 dx4
59
Пример 7. Для функции |
y = sin 2 x + |
1 |
|
найдем значения третьей |
||
tg x +1 |
||||||
|
|
|
|
|||
производной в точках x = −π , x = 0 , |
x = |
π . |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Решение. Зададим предварительно функцию
y(x) := sin(x)2 + |
1 |
|
||||||
tan(x) + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
Найдем значения производной в заданных точках |
||||||||
|
x := −π |
|
|
|
|
|||
|
d3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
y(x) = −8 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
||
|
x := 0 |
|
|
|
|
|||
|
d3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
y(x) = −8 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
||
|
x := |
π |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
d3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
y(x) = −5 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
||
Пример |
8. Вычислим значения второй производной от функции |
|||||||
y = x3 + 2x2 −3x +5 в точках отрезка [-5; 5] с шагом 2. |
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|||
|
x := −5,−3.. 5 |
|
|
|
|
|||
|
y(x) := x3 + 2 x2 − 3 x + 5 |
|||||||
|
|
|
|
d2 |
||||
|
|
|
|
|
y(x) = |
|||
|
x = |
|
2 |
|||||
|
|
dx |
||||||
|
-5 |
|
-26 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
-3 |
|
-14 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
-1 |
|
-2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
22 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
34 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
60 |
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r58x1.jpg)
Пример 9. Найдем вторую, третью и четвертую производные от функции
y = arcsin(x +1) .
Решение.
f(x) := asin(x + 1)
d |
2 |
|
f(x) |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
(−2 x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx2 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−x |
− 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d |
3 |
|
|
f(x) |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(−2 x − 2)2 |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx3 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
( |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
) |
2 |
|
|
|
2 |
− 2 |
) 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−x |
2 x |
|
|
|
|
|
|
−x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
d |
4 |
|
|
f(x) |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
−15 |
|
|
|
(−2 x − 2)3 |
− |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
(−2 x − 2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx4 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
) |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
) 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
−x |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
−x |
− 2 x |
|
|
7.3.Задания для самостоятельного решения
1.Вычислить производные в заданных точках.
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
y = |
3 |
1 |
|
, х=0, х=5 |
|
у = х3 −3х , |
х [2;3] с шагом 0,1 |
||||||
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
y = |
1+ х |
, х=-3, х=0 |
|
у = (х2 − 2х)ех , |
х [0;9] с шагом 1 |
||||||||
|
|
1− х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
y = х2 |
|
, х=1, х=-1 |
|
|
|
|
4 |
, |
х [1;5] с шагом 0,5 |
||||
|
4 − х2 |
|
|
|
у = (1− 2 х) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
y =sin x sin 2x , |
х=0, х= |
π |
у = |
cos x |
, |
х [0;3] с шагом 0,4 |
|||||||
4 |
1+sin x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = |
|
|
х |
|
, х=-5, х=7 |
у = |
2x +3 |
, |
х [0;5] с шагом 0,5 |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
x − |
х2 − 4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
y = |
x + |
x + |
x , х=0, |
х=3 |
у = x ln 3x, |
х [2;5] с шагом 0,3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r59x1.jpg)
7. |
y = |
|
x |
x , |
х=1, х=4 |
|
|
у = |
|
|
3x2 + 2x −1 |
, |
х |
[1;2] с шагом 0,1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
y = x sin x , х=0, х= − π |
|
|
у |
= |
cos |
2 1− |
|
x |
|
х |
[ |
|
] |
с шагом 0,5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1+ |
|
x , |
|
2;7 |
|
|||||||||||||||||||
9. |
y = |
|
1− x2 |
, |
х=0,1, |
х=1 |
|
у = |
3 |
x −1 |
, |
х [0;1] с шагом 0,2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. |
y = x |
|
1+ x2 , |
х=-2, |
х=0,5 |
|
у = e |
x+1 , |
|
х [0;4] с шагом 0,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. |
y = sin 4 x −cos4 x , |
х=0, |
х= |
π |
у = |
tg x |
, |
|
х |
|
π |
;π |
с шагом |
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||
12. |
y =102 x−3 , |
х=5, х=0,1 |
|
|
у = x sin x ln x, х [1;6] |
с шагом 0,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. |
y = sin 2x tg x , |
х= |
π , |
х= |
π |
|
у = (1+ 3 x )3 , |
х [2;10] с шагом 0,8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
y = |
|
|
|
х |
|
|
, х=5, х=5,6 |
у = x ln 3x, |
х [0;5] с шагом 0,4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x − |
х2 |
−3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15. |
y = 3x2 |
− ln x , |
х=1, |
х=2 |
|
|
у = |
1+ |
|
|
x |
, |
х [2;3] с шагом 0,1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
y = |
|
|
|
2 |
|
|
|
, х=5, х=0,5 |
у = |
|
|
|
1− x |
2 |
, |
х [0,1;0,9] с шагом 0,1 |
|||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
y = |
|
|
|
х3 |
|
|
, |
х=3, |
х=0,3 |
|
|
у = |
|
|
1+ x |
|
, |
х [0;0,8] с шагом 0,1 |
|||||||||||||||||||||
|
(1− x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
1− x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
y = |
|
|
х2 |
|
|
, |
х=0,5, |
х=3 |
|
у = |
1+ ex |
|
|
х [3;4] с шагом 0,1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
х2 +3 |
|
|
1−ex |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19. |
y = 3 |
|
x −1 |
, |
х=1, |
х=2,5 |
|
у = e |
ln x , |
|
х [2;7] с шагом 0,5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
х +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
20. |
y = 2x tg x , |
х=0, |
х= |
π |
|
|
у = sin x ecos x , |
х |
π |
;π |
|
с шагом |
π |
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
62
![](/html/2706/1215/html_ElA0bm0AmS.0olz/htmlconvd-P85z0r60x1.jpg)
2. Найти производные от заданных функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
y = 1+tg x3 |
|
|
y = ex + |
x2 +1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
y = cos2 |
1 |
|
|
|
|
|
y = sin ctg(x3 +1) |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
y = |
x2 +3x + ex |
|
y = 3 x3 +5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
y = cos3 ln x |
|
|
y = tg(x7 − 4x −9) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
y = tg 5 (4x + ex ) |
y = |
x +5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
||||||
6. |
y = 3 |
tg x + x3 |
|
|
y = ex cos x cos x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
y = ex tg x sin x |
|
|
y = |
cos 2x |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
y = x sin 2x ln 3x |
y = |
x2 |
−9 |
|
|||||||||||||||
sin 3x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
y = arcsin |
|
x2 |
−1 |
y = cos3 (4 − x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
y = arctg |
|
x3 +1 |
y = sin 4 (5 − 2x) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
y = sin7 (x2 |
−9) |
y = |
x + 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
|||
12. |
y = 3 |
arctg x +5x |
y = ex cos 2x ln 4x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
y = ctg 2 |
|
|
|
x |
|
|
y = ecos x + 2ln x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
y = |
|
x ex |
|
|
|
|
|
|
y = ex tg 5x cos10x |
||||||||||
sin 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
y = |
x −ln x |
|
|
|
y = ln(tg x + ex ) |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x5 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. |
y = (x + ln x + |
x + 2 )5 |
y = |
|
cos 2x |
|
||||||||||||||
|
sin x + 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63