Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт судостроения и морской арктической техники (Севмашвтуз) (филиал САФУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы 1-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2016

Размер:

611 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

−

−36

6(a −6)

17.

a3 − a2 +5a + 26

+16

a + 6

a3 −5a2 +17a −13

a +

a2 +12a +36

16b

−b

4 +b

−

18.

a3 + a2 − 2a

16 −b

−b

− a(a + 2)− a

+ 4

2(a +5)− a + 25a−1

19.

a2 − 4 −(a − 2)

3a2 +10a − 25

a3 + 2a2 −5a −6

10.

−10a + 25

20.

m(m −3)

a +5 +

(m2 − m −6)m

a2 + 25

a −5

4. Используя операцию Solve for variable: а) выразить каждую переменную через другие; б) решить уравнение; в) решить неравенство.

а)

б)

в)

x2 +3x − 4 > 0

2x +

V = πR2 H

− x2 +10x −16 > 0

20 − x

nmv2

p =

− x2 +3x − 2 < 0

10 −3x

v = 2gh

3x2 − 2x −1 < 0

x +12

S =

abc

= 5

2x2 −3x −5 > 0

x +1

−

= 4

− x2 − x +12 > 0

x + 2

S = 2πR(R + H )

− x2 +3x + 4 > 0

x + 2

ω =

−

x2 − x −6 > 0

x + 4

t =

= 3

2x2 −3x − 2 > 0

x +3

10.

Q = Cm(b − a)

= 3

2x2 +5x −3 > 0

x −3

11.

− x + 2 = 0

x + 2

> 0

3 − x

12.

V = πR2 H

+ 2x +3 = 0

x +5

> 0

x −3

13.

nmv2

x +1 = 0

p =

−

≤ 0

x −3

14.

v =

2gh

−

x +3 = 0

x − 4

≤ 0

x − 2

15.

S =

abc

3x2

+9 =12x − x2

≤ −

x −3

16.

−

5x2

+1 = 6x − 4x2

x −10

2 − x

17.

S = 2πR(R + H )

(10x − 4)(3x + 2)= 0

x +5

≤ 0

x −3

17.

ω =

(x −1)(5x + 0,5)= 0

3x + 2

≥ 0

x −1

19.

t =

(3x +1)(6 − 4x)= 0

x −10

≤1

2 − x

20.

Q = Cm(b − a)

6(10 − x)(3x + 4)= 0

x + 2

> 2

3 − x

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 Тема: Дифференцирование функций одной переменной

Цель работы: Научиться вычислять производные первого и высших порядков.

Производные в MathCAD можно вычислять символьно и численно. В первом случае ответом будет выражение, во втором – число, равное значению производной в некоторой, заранее заданной точке.

7.1. Производные первого порядка

Чтобы вычислить значение производной в точке, необходимо:

1.Задать точку, в которой требуется вычислить производную.

2.Вызвать шаблон для вычисления производной dd≡ ≡ либо клавишей [?]

(на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления».

3.В поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная, в свободное поле знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование.

4.Набрать знак равенства и щелкнуть мышью вне выражения. Замечание. Если требуется вычислить значение производной в

нескольких точках, то чтобы не набирать каждый раз функцию, ее удобно задать предварительно.

Пример 1. Вычислим значение производной от функции y = 2x2 +5x +1 в

точке x = 2 .

Решение.

x := 2

d ( 2	)
x	+ 5 x + 1 = 9
dx
Пример 2. Вычислим значение производной от функции y = sin 2 x +				1
				tg x +1
				tg x +1
в точках x = −π ,	x = 0 , x =		π .
			4
Решение. Задаем функцию
y(x) := sin(x)2 +			1
y(x) := sin(x)2 +		tan(x) + 1
		tan(x) + 1

Вычисляем значения производной от заданной функции в каждой заданной точке

x := −π

d y(x) = −1 dx

x := 0

d y(x) = −1 dx

x := π4

d y(x) = 0.5 dx

Можно найти значения производной в нескольких точках из заданного отрезка с некоторым шагом. Для этого переменную, по которой производится дифференцирование, необходимо задать как дискретную переменную.

Пример 3. Вычислим значения производной от функции y = −x2 + 2x −1 в

точках отрезка [-3; 3] с шагом 0,5.

Решение. Задаем х как дискретную переменную:

x := −3,−2.5.. 3

Задаем функцию:

y(x) := −x2 + 2 x − 1

Выводим таблицы значений переменной х и значений производной от заданной функции в соответствующих точках:

x =		d y(x) =
x =		dx
-3		8

-2.5		7

-2		6

-1.5		5

-1		4

-0.5		3

0		2

0.5		1

1		0

1.5		-1

2		-2

2.5		-3

3		-4

Чтобы вычислить производную символьно, необходимо:

1.Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.

2.Вызвать шаблон для вычисления производной.

3.Заполнить шаблон так, как указано выше.

4.Вычислить производную символьно.

Аналогично вычислению значению производной в точке при символьном вычислении производной функцию можно задавать предварительно.

Пример 4. Найдем производную от функции y = sin x +	1 .
	x
Решение.

sin(x) +

→

cos (x)

sin(x)

− 1 x2

Пример 5. Найдем производную от функции

f (x) = sin

−3ln x .

Решение.

f(x) :=

sin

− 3 ln(x)

f(x)

→ 5

sin

−

3 ln(x)

cos

−

7.2. Производные высших порядков

Производные высших порядков находятся так же, как и производные первого порядка, с тем лишь отличием, что теперь следует вызывать шаблон

производной порядка п	d ≡	≡. Сделать это можно либо сочетанием клавиш
	d ≡≡

[Ctrl] и [?] (на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления». При заполнении шаблона необходимо в поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная. В свободные поля под чертой дроби знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование, и указать порядок производной. Свободное поле над чертой дроби заполнится автоматически.

Пример 6. Найдем значения второй, третьей и четвертой производных от функции y = sin x + cos 2x в точке x = π .

Решение.

x := π

d2 (sin(x) + cos (2 x)) = −4 dx2

d3 (sin(x) + cos (2 x)) = 1 dx3

d4 (sin(x) + cos (2 x)) = 16 dx4

Пример 7. Для функции	y = sin 2 x +		1	найдем значения третьей
Пример 7. Для функции	y = sin 2 x +		tg x +1	найдем значения третьей
			tg x +1
производной в точках x = −π , x = 0 ,	x =	π .
		4

Решение. Зададим предварительно функцию

y(x) := sin(x)2 +				1
y(x) := sin(x)2 +				tan(x) + 1
				tan(x) + 1
Найдем значения производной в заданных точках
	x := −π
	d3
		y(x) = −8
	3	y(x) = −8
	dx
	x := 0
	d3
		y(x) = −8
	3	y(x) = −8
	dx
	x :=		π
			4
	d3
		y(x) = −5
	3	y(x) = −5
	dx
Пример			8. Вычислим значения второй производной от функции
y = x3 + 2x2 −3x +5 в точках отрезка [-5; 5] с шагом 2.
Решение.
	x := −5,−3.. 5
	y(x) := x3 + 2 x2 − 3 x + 5
				d2
					y(x) =
	x =			2	y(x) =
	x =			dx
	-5			-26

	-3			-14

	-1			-2

	1			10

	3			22

	5			34

				60

Пример 9. Найдем вторую, третью и четвертую производные от функции

y = arcsin(x +1) .

Решение.

f(x) := asin(x + 1)

d		2		f(x)		→							−1				(−2 x − 2)
dx2				f(x)		→			(						3		(−2 x − 2)
dx2															3
											2			) 2
							2			−x		− 2 x
	d		3		f(x)	→							3				(−2 x − 2)2	+				1
	dx3				f(x)	→				(						5	(−2 x − 2)2	+	(					3
	dx3															5								3
												2	−	)		2				2	− 2		) 2
								4			−x		−	2 x						−x	− 2		x
	d		4		f(x)	→							−15				(−2 x − 2)3	−					9				(−2 x − 2)
	d
	dx4									(						7					(					5
	dx4															7										5
												2	−	)		2				2		2			) 2
								8			−x		−	2 x						2		−x	− 2 x

7.3.Задания для самостоятельного решения

1.Вычислить производные в заданных точках.

а)

б)

y =

, х=0, х=5

у = х3 −3х ,

х [2;3] с шагом 0,1

+ x2

y =

1+ х

, х=-3, х=0

у = (х2 − 2х)ех ,

х [0;9] с шагом 1

1− х

y = х2

, х=1, х=-1

х [1;5] с шагом 0,5

4 − х2

у = (1− 2 х)

y =sin x sin 2x ,

х=0, х=

у =

cos x

х [0;3] с шагом 0,4

1+sin x

y =

, х=-5, х=7

у =

2x +3

х [0;5] с шагом 0,5

x −

х2 − 4

x2 + 4

y =

x +

x , х=0,

х=3

у = x ln 3x,

х [2;5] с шагом 0,3

y =

x ,

х=1, х=4

у =

3x2 + 2x −1

[1;2] с шагом 0,1

y = x sin x , х=0, х= − π

cos

2 1−

[

]

с шагом 0,5

x ,

2;7

y =

1− x2

х=0,1,

х=1

у =

x −1

х [0;1] с шагом 0,2

x −1

10.

y = x

1+ x2 ,

х=-2,

х=0,5

у = e

x+1 ,

х [0;4] с шагом 0,5

11.

y = sin 4 x −cos4 x ,

х=0,

х=

у =

tg x

;π

с шагом

12.

y =102 x−3 ,

х=5, х=0,1

у = x sin x ln x, х [1;6]

с шагом 0,5

13.

y = sin 2x tg x ,

х=

π ,

х=

у = (1+ 3 x )3 ,

х [2;10] с шагом 0,8

14.

y =

, х=5, х=5,6

у = x ln 3x,

х [0;5] с шагом 0,4

x −

х2

−3

15.

y = 3x2

− ln x ,

х=1,

х=2

у =

х [2;3] с шагом 0,1

16.

y =

, х=5, х=0,5

у =

1− x

х [0,1;0,9] с шагом 0,1

− x +1)

17.

y =

х3

х=3,

х=0,3

у =

1+ x

х [0;0,8] с шагом 0,1

(1− x)

1− x

18.

y =

х2

х=0,5,

х=3

у =

1+ ex

х [3;4] с шагом 0,1

х2 +3

1−ex

19.

y = 3

x −1

х=1,

х=2,5

у = e

ln x ,

х [2;7] с шагом 0,5

х +1

20.

y = 2x tg x ,

х=0,

х=

у = sin x ecos x ,

;π

с шагом

2. Найти производные от заданных функций.

а)

б)

y = 1+tg x3

y = ex +

x2 +1

y = cos2

y = sin ctg(x3 +1)

y =

x2 +3x + ex

y = 3 x3 +5

y = cos3 ln x

y = tg(x7 − 4x −9)

y = tg 5 (4x + ex )

y =

x +5

y = 3

tg x + x3

y = ex cos x cos x

y = ex tg x sin x

y =

cos 2x

+ 4

y = x sin 2x ln 3x

y =

−9

sin 3x

y = arcsin

−1

y = cos3 (4 − x)

10.

y = arctg

x3 +1

y = sin 4 (5 − 2x)

11.

y = sin7 (x2

−9)

y =

x + 4

+ 2

12.

y = 3

arctg x +5x

y = ex cos 2x ln 4x

13.

y = ctg 2

y = ecos x + 2ln x

x +5

14.

y =

x ex

y = ex tg 5x cos10x

sin 2x

15.

y =

x −ln x

y = ln(tg x + ex )

x5 + 4

16.

y = (x + ln x +

x + 2 )5

y =

cos 2x

sin x + 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20193 Мб22лаба 11.doc
#
13.11.2019188 Кб12лаба 8.doc
#
13.11.20193 Мб5лаба 9.doc
#
22.12.20182 Мб39лабораторные по word и excel.doc
#
27.02.20162 Мб119Лабораторные работы 1-7.doc
#
27.02.2016611 Кб19Лабораторные работы 1-7.pdf
#
01.05.20253 Мб0Лабораторные работы 8-12.doc
#
27.02.2016459 Кб16Лабораторные работы 8-12.pdf
#
27.02.2016475 Кб139лабораторные работы по химии.pdf
#
01.04.20254 Мб1Лабораторные работы_1430_1432_33_34.doc
#
27.02.2016490 Кб40лабораторные работы.doc