Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт судостроения и морской арктической техники (Севмашвтуз) (филиал САФУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы 1-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.02.2016

Размер:

610.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

2.Создать шаблон декартового графика.

3.В появившемся шаблоне в среднем поле по оси абсцисс напечатать через запятую имена независимых переменных, в среднем поле по оси ординат напечатать через запятую имена всех функций. Порядок следования переменных и функций должен быть согласован.

4.Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 3. Построим на одном рисунке графики функций s(x1)=3 x1-1, g(x2)=3 x22 - 30, h(x3)=50 sin(x3).

Решение.

x1:= −5,−4.8..5	x2:= −5,−4.8..5	x3:= −5,−4.8.. 5
s(x1) := 3 x1 − 1	g(x2) := 3 x22 − 30	h(x3) := 50 sin(x3)

	50
s(x1)
g(x2)	0	5
5	0	5
h(x3)
	50
	x1,x2,x3
	рис.3

Замечание. Если функция имеет разрыв в некоторых точках, то чтобы построить график такой функции, необходимо построить на одном чертеже частичные графики этой функции на различных отрезках, исключая точки разрыва.

4.2. Построение графиков параметрически заданных функций

Пусть заданы функции x=ϕ(t), y=ψ(t), t (α, β). Если при этом x=ϕ(t) на интервале (α, β) имеет обратную функцию t=ϕ -1(x), то определена новая функция y(x)=ψ(ϕ-1(x)), называемая функцией, заданной параметрически.

Чтобы построить график функции, заданной параметрически, необходимо:

1.Определить t как дискретную переменную.

2.Задать переменные х и у как функции переменной t.

3.Щелкнуть мышью в свободном месте. Выбрать из меню «Графика» XYPlot (Декартов график).

4.В появившемся шаблоне напечатать х(t) в среднем поле по оси абсцисс, напечатать y(t) в среднем поле по оси ординат.

5.Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 4. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=(t+2)3 +10, y=1.5 t 2.

Решение.

t := −3,−2.8..3

x(t) := (t + 2)3 + 10

y(t) := 1.5 t2

	20
y( t)	10
	0	50	100	150
		x( t)
		рис.4

Выведем таблицу значений параметра t и таблицы соответствующих значений х(t) и y(t):

t =	x(t) =	y(t) =

-3	9	13.5

-2.8	9.488	11.76

-2.6	9.784	10.14

-2.4	9.936	8.64

-2.2	9.992	7.26

-2	10	6

-1.8	10.008	4.86

-1.6	10.064	3.84

-1.4	10.216	2.94

-1.2	10.512	2.16

Пример 5. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=а cos t, y=b sin t, придавая а и b различные значения.

Решение.

1. Пусть а=b=2.

a := 2	b := 2	t := 0,	π	..2 π
			12
x(t) := a cos (t)		y(t) := b sin(t)
		2
y( t)	2	0		2
	2	0		2
		2
		x( t)
		рис.5

2. Пусть а=5, b=3.

a := 5	b := 3	t := 0,	π	..2 π
			12
x(t) := a cos (t)		y(t) := b sin(t)
		5
y( t)	5	0		5
	5	0		5
		5
		x( t)
		рис.6

3. Пусть а= 54 , b= 12 .

a := 4	b :=	1	t := 0,	π	..2 π
5		2		12
x(t) := a cos (t)			y(t) := b sin(t)
			1
y( t)	1		0		1
	1		0		1
			1
			x( t)
			рис.7

График параметрически заданной функции можно форматировать так же, как и график явно заданной функции.

4.3.Задания для самостоятельного решения

1.Построить графики явно заданных функций (1) (на различных

чертежах).

2.Построить графики параметрически заданных функций (2).

(1)

(2)

а)

у = х2 + 2

х ;

б) y =x sin

х = cost, y = t +sin t

а) у = х2 − 2

х ; б) y = x

2 +

x =

, y =

t 2

1+t 2

+t 2

а)

у = х−sin x ;

б). у =

16 − х2

x = 2t−1 , y =

(t 3

+1)

а)

у =

;

б) y = x +

x = cost +t sin t, y = sin t −t cost

а)

у = 2х−х4

;

б)

у = sin

x = et sin t, y = et

cost

а)

у = 2(х+ 4)5

+ (х+3)3 −1; б) у =

2х

x = cos2 t + 2cost,

y = sin t cost + 2sin t

− х

x = −2cost +

3cos

t ,

а)

у = sin х− х;

б) у =

3х

−1

y = −2sin t +3sin

а)

у =

2х

;

б) у =

9 − х2 .

x = t +3cost, y = sin t

+ х

а)

у = (х− 2)3 +3(х− 2) −

6 ; б)

у =

х2

x = t

− 2t, y = t

+ 2t

4 − х2

10.

а)

у =

;

б) у =

x =1−t, y =1−t 2

+ х

−9

11.

а)

у =

2x − x2

; б) у = x2 −

4x + 3

x =

4 −t2

y =

1+t3

+t3

12.

а)

у =

4x +3 − x2

; б) у = −x2 +

x =

t2 +1

y =

4(t −1)

t +1

13.

а)

у =

1− x2

; б)

у =1+(x +2)2

x = arcsin(sin t) , y = arccos(cost)

14.

а)

у =

x2 +1

; б)

у =

x2 + x −1

x = arctg(t) ,

y = t3 −t

x +1

15.

а)

у =

x +3

; б)

у =

x2 + x

x = (ln t)sin t ,

y = cost

2x −1

16.

а)

у =

; б) у =

11− x2

x = sin 2t ,

y = sin 4t

17.

а) у =

; б) у =

x +1

x = cos4t ,

y = 3t

x +1

18.

а)

у =

x +1

x −2

; б)

у = x +

x = et sin t ,

y = et cost

19.

а)

у = x2 +

; б)

у = x +

x = sin 4t ,

y = cos t

20.

а)

у =

; б)

у = 3x − x3

x =

t2 −1

, y =

(t +2)(t +1)

t(t +2)

3*.

Построить: а)

циклоиду

x = a(t −sin t), y = a(1−cost), б) астроиду

x = a cos3 t, y = a sin3 t , придавая различные значения а.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: Построение графиков в полярной системе координат

Цель работы: Научиться строить графики функций в полярной системе координат.

5.1. Основные теоретические положения

Говорят, что на плоскости задана полярная система координат, если заданы:

-некоторая точка О, называемая полюсом, -некоторый луч и, исходящий из точки О называемый полярной осью.

Полярными координатами точки М называются два числа:

ρ>0 - полярный радиус, равный расстоянию от точки О до точки М,

ϕ - полярный угол, равный углу, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора ОМ .

рис. 8

Запись М(ρ,ϕ) означает, что точка М имеет полярные координаты ρ и ϕ. Зададим на плоскости декартову систему координат таким образом,

чтобы начало координат совпадало с полюсом полярной системы координат, а направление положительной полуоси абсцисс совпадало с направлением полярной оси.

F(ρ,ϕ)= 0

рис. 9
Тогда связь между декартовыми координатами точки М(х,у) и полярными
координатами этой точки дается формулами:
x = ρ cosϕ ,	y = ρsinϕ ;
ρ = x2 + y2 ,	tg ϕ =	y	.

		x

Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид или ρ = ρ(ϕ). Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из

свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой в декартовой системе координат.

Пример 1. Построим кривую ρ = 3ϕ - спираль Архимеда.

Решение. Будем придавать ϕ значения от 0 до 2π с шагом π8 Составим

таблицу значений ϕ и ρ (для вычисления значений ρ можно использовать возможности MathCAD):

ϕ	0		π 8		π 4		3π 8		π 2		5π 8		3π 4		7π 8		π
ρ	0		1.178		2.356		3.534		4.712		5.89		7.069		8.247	9.425


ϕ	9π	8	5π	4	11π	8	3π	2	13π	8	7π	4	15π	8	2π
		8		4		8		2		8		4		8

ρ10.603 11.781 12.959 14.137 15.315 16.493 17.671 18.85

Фиксируем на плоскости точку О и проводим полярную ось и . Выберем также единичный отрезок.

Значению ϕ=0 соответствует ρ=0, т.е. первая точка кривой – точка О.

Далее проводим из точки О луч под углом π 8 к полярной оси и отмечаем на этом луче точку на расстоянии 1.178 от начала координат. Затем проводим луч под углом π 4 и отмечаем точку на расстоянии 2.356, и т.д. Соединив

полученные точки в той последовательности, в которой их отмечали, построим кривую.

рис. 10

5.2. Построение графиков в полярной системе координат при помощи MathCAD

Для того чтобы построить график в полярной системе координат при помощи MathCAD, необходимо:

1.Определить ϕ как дискретную переменную (в пределах области определения).

2.Задать функцию ρ(ϕ) .

3.Щелкнуть мышью в свободном месте. Выбрать из меню «Графика» PolarPlot (Полярный график).

4.В появившемся шаблоне напечатать ϕ в нижнем поле, напечатать ρ(ϕ)

влевом поле.

5. Щелкнуть мышью вне графика.
Пример 2. Построим график функции				ρ = 3ϕ	(спираль Архимеда)	при
помощи MathCAD.
Решение.
φ:= 0,	π .. 2 π
	8
ρ(φ) := 3 φ
	112.5	90	67.5
	112.5		67.5
	135		45
	157.5			22.5
ρ(φ)	180			0
	202.5			337.5
	225		315
	247.5	270	292.5
		270
		φ
	рис. 11
График в полярных координатах можно форматировать.

Чтобы открыть окно форматирования графика поступают также как при форматировании декартово графика. Аналогично декартовому графику, для полярного графика можно задать стиль оформления осей (в частности, для наглядности удобно отразить вспомогательные угловые линии), изменить параметры кривой, создать надписи.

5.3.Задания для самостоятельного решения

1.Построить (в тетради) в полярной системе координат линию по

точкам, придавая ϕ значения от 0 до 2π с шагом π	8	. (Для вычисления
	8

значений ρ можно использовать возможности MathCAD.)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20192.67 Mб10лаба 11.doc
#
13.11.2019188.42 Кб5лаба 8.doc
#
13.11.20193.05 Mб3лаба 9.doc
#
22.12.20181.66 Mб25лабораторные по word и excel.doc
#
27.02.20162.05 Mб107Лабораторные работы 1-7.doc
#
27.02.2016610.74 Кб16Лабораторные работы 1-7.pdf
#
27.02.2016458.94 Кб14Лабораторные работы 8-12.pdf
#
27.02.2016474.5 Кб133лабораторные работы по химии.pdf
#
27.02.2016490.5 Кб29лабораторные работы.doc
#
07.11.2018471.04 Кб15лабораторные работы.doc
#
27.02.201638.12 Кб35Лев Платонович Карсавин.docx