Лабораторные работы 1-7

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой; в противном случае неопределённой.

Система называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов А отличен от нуля.

Крамеровская система имеет единственное решение, которое можно

найти по правилу Крамера: xi = i , где = det A , i - определитель,

получаемый из заменой i - го столбца на столбец свободных членов.

MathCAD решает уравнения при помощи итерационных методов, поэтому требуется задавать начальные приближения, на основе которых строится последовательность, сходящаяся к искомому решению. Различные начальные приближения приводят к различным решениям.

Для того чтобы решить систему уравнений, необходимо создать блок решения уравнений, содержащий ключевое слово Given и функцию Find.

3.2. Решение систем уравнений

Для решения системы уравнений необходимо:

1.Задать начальные приближения для всех переменных, входящих в систему уравнений, с учётом области определения всех функций входящих в систему.

2.Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений.

3.Ввести уравнения системы ниже ключевого слова Given. Между левыми и правыми частями уравнений должен стоять логический знак

24

равенства. Для этого используйте сочетание клавиш [Ctrl] и [=] или его символ с палитры отношений.

4. Ввести выражение, включающее функцию Find.

Функция Find (х1, х2, х3, … ) возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Функция Find возвращает ответ в виде вектора, содержащего значения переменных х1, х2, х3, …, являющиеся решением системы уравнений .

Пример 1. Решить систему уравнений

sin( x + y ) −1,1 x = 0,1

x 2 + y 2 =1

Решение.

Given

sin(x + y) − 1.1 x 0.1

x2 + y2 1

Find(x,y) = 0.8050.594

3.3. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим способы решения крамеровской системы линейных уравнений.

Крамеровскую систему линейных уравнений можно решить четырьмя способами:

25

1. Используя блок решения уравнений Given – Find .

2.С помощью функции lsolve .

Функция lsolve (A, B) возвращает вектор решения X такой, что

AX = B .

3.Используя обращение матрицы коэффициентов системы.

4.Методом Крамера.

Пример 2. Решить систему уравнений

3x1 + 6x2 = 9,2x1 + 0,5x2 = 4.

Решение. Найдем решение системы различными способами. 1. Используя блок Given – Find:

2. С помощью функции lsolve.

Создаем матрицу коэффициентов системы и вектор свободных членов:

ORIGIN:= 1

26

3. Для нахождения решения используем формулу Х=А-1В:

3.4.Задания для самостоятельного решения

1.Найти решение системы уравнений (1), задавая различные приближения (не менее трех).

2.Получить решение линейной системы (2) четырьмя указанными способами. Если найти решение тем или иным способом не удается, указать причину.

27

28

29

30

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Тема: Построение графиков в декартовой системе координат

Цели работы:

1.Научиться строить графики явно заданных функций в декартовой системе координат.

2.Научиться строить графики параметрически заданных функций в декартовой системе координат.

4.1. Построение графиков явно заданных функций

Если зависимость между переменными х и у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то у называется явно заданной функцией и записывается в виде у=f(х) .

Для того чтобы построить график функции у=f(х), необходимо:

1.Определить х как дискретную переменную (в пределах области определения).

2.Задать функцию f(х) .

3.Щелкнуть мышью в свободном месте. Выбрать из меню «Графика» XYPlot (Декартов график).

4.В появившемся шаблоне напечатать х в среднем поле по оси абсцисс, напечатать f(х) в среднем поле по оси ординат.

Остающиеся поля предназначены для ввода границ на осях. Если их оставить незаполненными, MathCAD заполнит их автоматически при создании графика.

5.Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 1. Построим график функции у=-2,3х2+5,1.

Решение.

31

График можно форматировать. Для этого необходимо:

1.Щелкнуть мышью по чертежу, чтобы выделить его (появляется синяя выделяющая рамка). Дважды щелкнуть мышью по выделенному чертежу. Появится окно форматирования.

2.В верхней части окна форматирования расположены закладки: «ХУ-

оси», «Графики», «Надписи».

«ХУ-оси» позволяет форматировать оси. В частности, можно задать стиль оформления осей: рамка, пересечение, ничего. Рамка окружает график наружной рамкой. Пересечение покажет оси, пересекающиеся в начале координат. Ничего – оси не будут отражены вообще.

«Графики» позволяет форматировать отдельные кривые: указать цвет, тип, толщину и т.п. для каждой кривой.

«Надписи» позволяет оформить график: указать заголовок, подписать название осей.

На одном рисунке можно отображать графики нескольких функций. Если все функции зависят от одного и того же аргумента, то на одном рисунке можно построить до 16 графиков различных функций. Если же каждая функция

32

зависит от своего аргумента, то на одном рисунке можно построить только 10 графиков.

Чтобы построить несколько графиков функций одной и той же переменной, необходимо:

1.Определить независимую переменную и все функции, графики которых будем строить.

2.Создать шаблон декартового графика.

3.В появившемся шаблоне в среднем поле по оси абсцисс напечатать имя независимой переменной, в среднем поле по оси ординат напечатать через запятую имена всех функций.

4.Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 2. Построим на одном чертеже графики функций у=1-х и у=0,3х2+0,66.

Решение.

Чтобы построить несколько графиков функций, зависящих от разных переменных, необходимо:

1. Определить все независимые переменные и все функции, графики которых будем строить.

33