3.10. Условие принадлежности прямых одной плоскости

Две прямые L₁ и L₂ в пространстве могут: пересекаться, быть параллельными, скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Для принадлежности одной плоскости прямых L₁ и L₂, заданных каноническими уравнениями:

,

необходимо и достаточно, чтобы три вектора (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁), (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂) были компланарны. Тогда необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых L₁ и L₂ одной плоскости является равенство нулю их смешанного произведения:

Если прямые удовлетворяют этому условию, то они либо пересекаются, либо параллельны. Определить, как эти прямые располагаются в плоскости, позволяет условие параллельности прямых.

Прямая принадлежит плоскости: Ах+By+Cz+D=0, если выполнены два условия:

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0;

Am+Bn+Cp=0.

Первое из них означает, что точка М₀(x₀,y₀,z₀), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости.

3.11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

3.11.1. Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим плоскость, заданную общим уравнением Ах+By+Cz+D=0, и прямую, заданную каноническим уравнением

.

Т.к. угол  между прямой и плоскостью является дополнительным к углу  между направляющим вектором прямой (m;n;p) и нормальным вектором плоскости (A;B;C),

то из определения скалярного произведения и равенстваcos=cos(90-)=sin получим:

3.11.2. Условие параллельности прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности векторов (m;n;p) и (A;B;C), и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:

Am+Bn+Cp=0.

3.11.3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности векторов (m;n;p) и (A;B;C), и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

4. Кривые второго порядка

4.1 Эллипс

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса, в этом случае получаем окружность.

Пусть точка М(х,у) – некоторая точка плоскости. Обозначим через r₁ и r₂ расстояния от точки М до точек F₁ и F₂ соответственно. Согласно определению эллипса равенство:

r₁+r₂=2a

является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х,у) на данном эллипсе.

- каноническое уравнение эллипса.

Свойства эллипса.

1) Эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу и точки О(0;0) – центра эллипса.

Точки пересечения эллипса с осями координат А₁(а;0) и А₂(-а;0), В₁(0;b) и B₂(0;-b) называются вершинами эллипса.

Отрезки А₁А₂=2а и В₁B₂=2b называются соответственно большой и малой осями эллипса.

2) Эллипс содержится внутри прямоугольника |x|a, |y|b. В самом деле, из канонического уравнения вытекает, что . Эти неравенства эквивалентны неравенствам|x|a, |y|b.

Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса:

е=с/а.

Учитывая, что b²=a²-c², получим:

.

Из этой формулы видно, что эксцентриситет эллипса меньше единицы.

Чем больше эксцентриситет эллипса, тем меньше отношение малой полуоси эллипсаb к его большой полуоси а, и значит, тем более сплющенным будет эллипс.