![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
- •Введение
- •1. Матрицы и определители
- •1.1. Понятие матрицы
- •1.2. Алгебраические операции над матрицами
- •1.3.5. Свойства определителей
- •1.4. Обратная матрица
- •1.4.1. Определение обратной матрицы
- •1.4.2. Методы вычисления обратной матрицы
- •3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:
- •1.5. Ранг матрицы
- •1.5.1. Определение ранга матрицы
- •1.5.2. Методы вычисления ранга матрицы
- •1.6. Системы линейных уравнений
- •1.6.1. Определение системы
- •1.6.2. Классификация систем
- •1.6.3. Крамеровские системы
- •1.6.4. Произвольные неоднородные системы
- •1.6.6. Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Понятие вектора
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2. 3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Линейная зависимость векторов
- •2.5. Базис. Координаты вектора
- •2.6. Прямоугольная (декартова) система координат
- •2.7. Скалярное произведение векторов
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.9. Смешанное произведение векторов
- •3. Прямые и плоскости
- •3.1. Задание прямой на плоскости
- •3.2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3.3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •3.4. Задание плоскости в пространстве
- •3.5. Виды уравнений плоскости
- •3.6. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •3.7. Определение прямой в пространстве
- •3.8. Виды уравнений прямой в пространстве
- •3.9. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •3.10. Условие принадлежности прямых одной плоскости
- •3.11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •4.2. Гипербола
- •4.3. Парабола
- •Вариант №0
- •2. Вычислить определитель
- •Решение варианта №0
- •2. Вычислить определитель
- •Рекомендуемая литература
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, 6.
2.4. Линейная зависимость векторов
Выражение
называетсялинейной
комбинацией векторов
с коэффициентамис1,
с2,
..., сn.
Система векторов
называютсялинейно
зависимой,
если их линейная комбинация обращается
в ноль
прис1,
с2,
..., сn,
не равных нулю одновременно; и линейно
независимой,
если
только тогда, когда все коэффициентыс1=с2=...=сn=0.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. Любая система из трех векторов на плоскости линейно зависима.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Любая система из четырех векторов в пространстве линейно зависима.
2.5. Базис. Координаты вектора
Пусть V
– векторное пространство. Базисом
в пространстве V
называется
всякая система векторов
,
которая линейно независима и полна (т.
е. всякий вектор пространства можно
выразить через данную систему векторов).
Обозначим через V1 – множество векторов на прямой; V2 – множество векторов на плоскости; V3 - множество векторов в пространстве.
Базисом в V1 называется любой ненулевой вектор; в V2 – любая пара неколлинеарных векторов; в V3 – любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Теорема о разложении вектора по базису: Любой вектор можно разложить по базису единственным образом:
в V1:
;
в V2:
;
в V3:
.
2.6. Прямоугольная (декартова) система координат
Системой прямоугольных
(декартовых
координат) называется совокупность
точки O
и базиса, обозначаемого
и удовлетворяющего условиям:
1)
=1;
2)
,
3) тройка векторов
- правая.
Любой вектор
можно представить в виде разложения по
базису
:
,
числа
х, у, z
называются прямоугольными
(декартовыми)
координатами
вектора
.
Геометрический смысл координат вектора – координаты вектора есть проекции этого вектора на координатные оси:
х=;
у=;
z=.
Cos, cos, cos - называются направляющими косинусами вектора.
Пусть даны точка
М1(х1,у1,z1)
и точка М2(х2,у2,z2),
тогда вектор
.
Координаты вектора
.
Модуль вектора
,
равный расстоянию между точкамиМ1
и М2,
находится по формуле:
.
Рассмотрим векторы
(ха;
уа;
zа)
и
(хb;
уb;
zb),
тогда
-
если
,
то
(ха+хb;
уа+уb;
zа+zb);
-
если
,
то
(ха;
уа;
zа).
Условие коллинеарности векторов в координатной форме:
векторы
и
коллинеарны (
=
)
тогда и только тогда, когда
.
Координаты середины отрезка М1М2:
.
2.7. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1)
- свойство коммутативности;
2)
-
скалярное произведение вектора на себя
равно квадрату модуля вектора;
3) ()=(
)– свойство
ассоциативности;
4) (+
)
=
+
-
свойство дистрибутивности.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1)
тогда и только тогда, когда
=0
– условие
ортогональности
векторов;
2) Два ненулевых
вектора
и
составляют:
острый угол, если
>0;
тупой угол, если
<0;
Скалярное
произведение в координатах двух
векторов
(ха;уа;zа)
и
(хb;уb;zb)
есть число, равное сумме произведений
одноименных координат:
=xaxb+yayb+zazb.
Из определения скалярного произведения вытекают следующие формулы:
- косинус
угла между
векторами
;
- проекция
вектора
на вектор
равна
.