- •Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
- •Введение
- •1. Матрицы и определители
- •1.1. Понятие матрицы
- •1.2. Алгебраические операции над матрицами
- •1.3.5. Свойства определителей
- •1.4. Обратная матрица
- •1.4.1. Определение обратной матрицы
- •1.4.2. Методы вычисления обратной матрицы
- •3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:
- •1.5. Ранг матрицы
- •1.5.1. Определение ранга матрицы
- •1.5.2. Методы вычисления ранга матрицы
- •1.6. Системы линейных уравнений
- •1.6.1. Определение системы
- •1.6.2. Классификация систем
- •1.6.3. Крамеровские системы
- •1.6.4. Произвольные неоднородные системы
- •1.6.6. Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Понятие вектора
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2. 3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Линейная зависимость векторов
- •2.5. Базис. Координаты вектора
- •2.6. Прямоугольная (декартова) система координат
- •2.7. Скалярное произведение векторов
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.9. Смешанное произведение векторов
- •3. Прямые и плоскости
- •3.1. Задание прямой на плоскости
- •3.2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3.3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •3.4. Задание плоскости в пространстве
- •3.5. Виды уравнений плоскости
- •3.6. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •3.7. Определение прямой в пространстве
- •3.8. Виды уравнений прямой в пространстве
- •3.9. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •3.10. Условие принадлежности прямых одной плоскости
- •3.11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •4.2. Гипербола
- •4.3. Парабола
- •Вариант №0
- •2. Вычислить определитель
- •Решение варианта №0
- •2. Вычислить определитель
- •Рекомендуемая литература
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, 6.
3.3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Способ задания прямых |
Угол между двумя прямыми |
Условия параллельности |
Условия перпендику-лярности |
Прямые заданы общими уравнениями: , . |
|
| |
Прямые заданы каноническими уравнениями: , . |
|
|
|
Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: , |
|
|
|
3.4. Задание плоскости в пространстве
Плоскость в пространстве может быть задана:
тремя точками плоскости;
точкой и нормальным вектором плоскости, тогда множество точек М плоскости, проходящей через точку М0 ортогонально вектору , будет удовлетворять условию.
точкой и двумя неколлинеарным векторам ,, тогда множество точекМ плоскости будет удовлетворять условию, что векторы ,,компланарны
3.5. Виды уравнений плоскости
Общее уравнение плоскости:
Ах+By+Cz+D=0,
где (A;B;C) – нормальный вектор плоскости.
2) Уравнение плоскости, проходящей через точку М0 параллельно
двум неколлинеарным векторам (m1;n1;p1), (m2;n2;p2).
.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3,y3,z3):
.
Это уравнение есть условие компланарности трех векторов .
3.6. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Пусть две плоскости 1 и 2 заданы общими уравнениями:
1: A1x+B1y+C1z+D=0;
2: A2x+B2y+C2z+D=0.
Вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла между их нормальными векторами (А1,В1,С1) и (А2,В2,С2).
Из определения скалярного произведения и записи его в координатной форме, получим:
.
Условие параллельности плоскостей 1 и 2, эквивалентное условию коллинеарности векторов (А1,В1,С1) и (А2,В2,С2), заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид:
.
Условие перпендикулярности плоскостей 1 и 2 выражается равенством нулю скалярного произведения векторов (А1,В1,С1) и (А2,В2,С2). Оно имеет вид:
А1А2+В1В2+С1С2=0.
3.7. Определение прямой в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей; либо точкой и направляющим вектором прямой.
Прямая в пространствене определяется через нормальный вектор, т.к. любая прямая имеет в каждой своей точке бесконечное множество нормальных векторов.
3.8. Виды уравнений прямой в пространстве
1) Каноническое уравнение прямой:
,
где (m;n;p) – направляющий вектор прямой; - координаты заданной точки прямой.
2) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2):
.
3) Общее уравнение прямой в пространстве:
Каждое из уравнений системы является уравнением плоскости, прямая – линия пересечения двух плоскостей.
4) Параметрическое уравнение прямой:
,
где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой;- координаты заданной точки прямой,t – параметр, -t+.
3.9. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:
Задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами (m1;n1;p1) и (m2;n2;p2). По определению скалярного произведения:
Условие параллельности прямых L1 и L2, эквивалентное условию коллинарности векторов (m1;n1;p1) и (m2;n2;p2), заключается в пропорциональности координат их направляющих векторов:
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 выражается равенством нулю скалярного произведения векторов и:
m1m2+n1n2+p1p2=0.