1.6.6. Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений

Методом Гаусса решаются неоднородные системы уравнений AX=B.

Суть метода Гаусса:

1) систему уравнений приводят к треугольному виду;

2) определяют свободные и связанные неизвестные;

3) составляют крамеровскую систему и решают по правилу Крамера;

4) записывают общее решение системы.

Замечание. В методе Гаусса ранг матрицы определяется автоматически.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу преобразованной системы и найдем ее ранг.

,тогда

,x₄ - свободная неизвестная; x₁, x₂, x₃ – базисные неизвестные. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Пусть x₄=С, тогда 7x₂=4+2С, х₂=4/7+2С/7, х₁=4С/7-6/7.

Ответ: общее решение системы Х=.

Методом Гаусса решаются так же крамеровские системы, т.е. системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и detA0. В этом случае мы сразу получаем единственное решение системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений

.

Решение: 1) умножим первое уравнение на (-2) и прибавим его ко второму уравнению;

2) умножим первое уравнение на (-5) и прибавим его к третьему уравнению; получим систему:

.

3) Умножим второе уравнение системы на 3 и прибавим его к третьему уравнению:

.

4) Найдем последовательно x₃, x₂, x₁.

Ответ:.

2. Векторная алгебра

2.1. Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок прямой, то есть отрезок, относительно которого указано, какая из его точек является началом, какая концом.

Вектор можно обозначать , гдеА – начало вектора, В - его конец, или .

Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора, обозначают ||, ||.

Единичным вектором называется вектор , модуль которого равен единице: ||=1.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Обозначается: .

Нулевой вектор не имеет ни длины, ни направления.

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и совпадающие направления.

Ортом вектора называется единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора. Обозначается:

.

Два вектора иназываютсяколлинеарными, если они параллельны одной и той же прямой. Коллинеарные вектора могут быть:

- сонаправленными, обозначают:  ;

- противоположно направленными, обозначают:  .

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

2.2. Линейные операции над векторами

1. Суммой двух векторов иназывается вектор=+, получаемый по правилам:

а) правило треугольника; б) правило параллелограмма.

Разностью векторов иназывается вектор, если+=, разность векторов обозначается-.

2. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ||=|||| - модуль вектораравен произведению модуля векторана модуль числа;

2. - векторы сонаправлены, если >0,

- векторы противоположно направлены, если <0.

Два вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда выполнено условие:

=.

2. 3. Проекция вектора на ось

Углом между векторами иназывается наименьший из двух углов (0), на который надо повернуть один вектор, чтобы его направление совпало со вторым после приведения этих векторов к общему началу:

.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой задано единичным вектором (ортом оси).

Проекцией точки А на ось l называется точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно оси l - точка А₁.

Рассмотрим произвольный вектор . Пусть точкаА₁ – проекция начала вектора на ось, В₁ - проекция конца вектора.

Проекцией вектора на осьl называется положительное число, равное модулю вектора проекции , если угол между вектором и осьюострый, и отрицательное число -, если угол между вектороми осью- тупой.

Обозначается проекция вектора и вычисляется по формуле:.