- •Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
- •Введение
- •1. Матрицы и определители
- •1.1. Понятие матрицы
- •1.2. Алгебраические операции над матрицами
- •1.3.5. Свойства определителей
- •1.4. Обратная матрица
- •1.4.1. Определение обратной матрицы
- •1.4.2. Методы вычисления обратной матрицы
- •3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:
- •1.5. Ранг матрицы
- •1.5.1. Определение ранга матрицы
- •1.5.2. Методы вычисления ранга матрицы
- •1.6. Системы линейных уравнений
- •1.6.1. Определение системы
- •1.6.2. Классификация систем
- •1.6.3. Крамеровские системы
- •1.6.4. Произвольные неоднородные системы
- •1.6.6. Метод Гаусса решения систем неоднородных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •2.1. Понятие вектора
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2. 3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Линейная зависимость векторов
- •2.5. Базис. Координаты вектора
- •2.6. Прямоугольная (декартова) система координат
- •2.7. Скалярное произведение векторов
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.9. Смешанное произведение векторов
- •3. Прямые и плоскости
- •3.1. Задание прямой на плоскости
- •3.2. Виды уравнений прямой на плоскости
- •3.3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •3.4. Задание плоскости в пространстве
- •3.5. Виды уравнений плоскости
- •3.6. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •3.7. Определение прямой в пространстве
- •3.8. Виды уравнений прямой в пространстве
- •3.9. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •3.10. Условие принадлежности прямых одной плоскости
- •3.11. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •4.2. Гипербола
- •4.3. Парабола
- •Вариант №0
- •2. Вычислить определитель
- •Решение варианта №0
- •2. Вычислить определитель
- •Рекомендуемая литература
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, 6.
1.3.5. Свойства определителей
1) При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е. detA=det(AT)
2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на обратный.
3) При круговой перестановке строк (столбцов) определитель не изменяется.
4) Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен 0; если одна из строк (столбцов) матрицы получается из другой строки (столбца) умножением на некоторый множитель, то определитель равен 0.
5) При умножении матрицы порядка n на число определитель умножается на n.
6) При умножении одной строки (столбца) на число определитель умножается на это число.
1.4. Обратная матрица
1.4.1. Определение обратной матрицы
Матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если AВ = ВА = Е, где Е - единичная матрица.
Обозначение: В=А-1
Необходимоe и достаточноe условие существования обратной матрицы: для того, чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля. Если обратная матрица существует, то она единственная.
Элементы обратной матрицы даются формулой: aij = Aji / detA
Замечание. Если detA = 0, то матрица называется вырожденной.
Свойства обратной матрицы.
(А-1 )T = (АT )-1
(АВ)-1= В-1А-1
1.4.2. Методы вычисления обратной матрицы
а) Метод присоединенной матрицы.
1) вычисляем det A;
2) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы;
3) составляем матрицу алгебраических дополнений АV, которая и называется присоединенной матрицей;
4) транспонируем АV и делим каждый элемент матрицы на detA:
А-1=(АV)Т/ detA.
Пример. Найти обратную матрицу для заданной матрицы А.
Вычисляем определитель: detA= -2.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A11=5; A12=-(-4)=4; A21=-(-3)=3; A22=2.
3) Составляем матрицу алгебраических дополнений:
4) Транспонируем матрицуалгебраических дополнений и делим каждый ее элемент на определитель матрицы А:
б) Метод элементарных преобразований.
Берем матрицу А и составляем расширенную матрицу (A/E):
Элементарными преобразованиями над строками матрицы (A/E) она приводится к виду (E/A), т.е. слева стоит единичная матрица, а справа получаем обратную матрицу.
Пример.
1.5. Ранг матрицы
1.5.1. Определение ранга матрицы
Пусть А - произвольная матрица.
Возьмем столбцов и строк матрицы А, где min (m,n).
Определение. Минором М матрицы А называется определитель -го порядка, полученный на пересечении строк и столбцов матрицы А.
Пример. Дана матрица А.
Максимальный порядок миноров данной матрицы равен четырем.
Рангом матрицы называется наивысший из порядков не равных нулю миноров этой матрицы.
Обозначение: rang A или r(A).
Пример. Дана матрица А.
detA=0, все миноры второго порядка равны 0.
Минор 1-го порядка М==30, следовательно, r(A)=1.
1.5.2. Методы вычисления ранга матрицы
а) Метод окаймляющих миноров.
Суть метода:
берут не равный нулю минор небольшого, обычно 2-го порядка и рассматривают все миноры 3-го порядка, которые содержат (окаймляют) данный. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 2;
если хотя бы один из миноров 3-го порядка не равен нулю, то берут те миноры 4-го – порядка, которые содержат данный ненулевой и вычисляют их. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 3;
если хотя бы один из миноров 4-го порядка не равен нулю, то продолжают процесс.
б) Метод элементарных преобразований.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Суть метода: элементарными преобразованиями обнуляют как можно большее число элементов матрицы, тогда вычисление ранга не вызывает затруднений.
Пример.
Умножим первую строку матрицы на (-11) и прибавим ко второй; умножим первую строку на (-4) и прибавим к третьей; умножим первую строку на (-3) и прибавим к четвертой.
Поменяем местами вторую и четвертую строки матрицы.
Умножим вторую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей; умножим вторую строку на (-37) и прибавим к четвертой.
Разделим третью строку на 13; разделим четвертую строку на 8.
Умножим третью строку матрицы на (-27) и прибавим к четвертой, получим треугольную матрицу, определитель которой не равен нулю.
Rang (А)=4.