Завдання для самостійної роботи і. Розв’язати задачу і зробити креслення:

1. У трикутнику з вершинами А(–3; –1), В(1; –5), С(9; 3) сторониАВіАСрозділені у відношенні 3:1. Довести, що прямі, які з’єднують точку ділення з протилежними вершинами, і медіанаАМперетинаються в одній точці.

2. Дані рівняння сторони x + 3y– 8 = 0 і діагоналі 2x + y + 4 = 0 ромба.Записати рівняння інших сторін і діагоналі ромба, знаючи, що точкаА(–9; –1) лежить на стороні, паралельній даній.

3. Дано дві точки А(–3; 8) іВ(2; 2). На осіОхзнайти координати такої точкиС, щоб периметр трикутникаАВСбув найменшим.

4. Дано вершини А(–3; –2), В(4; –1), С(1; 3) трапеціїАВСD(AD║CB). Діагоналі трапеції перпендикулярні. Знайти координати точкиD.

5. Дано рівняння двох сторін 2х – 5у – 1 = 0, 2х – 5у – 7 = 0 і рівняння діагоналіх + 3у – 6 = 0 ромба. Знайти рівняння інших сторін і діагоналі ромба.

6. Дано рівняння двох медіан трикутника х– 2у+1 = 0,у – 1 = 0 і одну з його вершинА(1, 3). Скласти рівняння сторін трикутника.

7. Дано вершини А(2; –2), В(3; –1) і точкуР(1; 0) перетину медіан трикутникаАВС. Скласти рівняння його висоти, проведеної через вершинуС.

8. Дано точки А(3; 5) іВ(–1; 4). На осіОхзнайти координати такої точкиС, щоб периметр трикутникаАВСбув найменшим.

9. У трикутнику АВСдано координати точкиА(2; 6) та рівняння висотих + 7у + 15 = 0 і бісектриси 6х – 42у – 85 = 0, проведених з однієї вершини. Скласти рівняння сторін трикутника.

10. У трикутнику дано вершину А(2; –7), рівняння висоти 3х + у + 11 = 0і медіаних + 2у + 7 = 0, проведених із різних вершин. Скласти рівняння сторін.

11. Дано рівняння двох сторін трикутника 5х – 4у + 15 = 0, 4х + у – 9 = 0і точкуР(0; 2) перетину медіан. Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

12. Дано рівняння висот 2х– 3у+1 = 0,х + 2у + 1 = 0 і вершинуА(2; 3) трикутника. Знайти рівняння сторін трикутника.

13. Дано рівняння сторони 4х + у– 12 = 0 і висот 5х– 4у – 12 = 0,х + у – 6 = 0 трикутника. Знайти рівняння інших сторін і висоти.

14. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку М(6; 8) та відтинає від координатного кута трикутник, площа якого дорівнює 12 од².

15. Дано рівняння двох сторін паралелограма х + 2у + 2 = 0, х +у – 4 = 0і рівняння однієї діагоналіх– 2 = 0. Знайти координати вершин паралелограма.

16. Дано рівняння двох сторін 2х + 3у – 6 = 0 (АВ),х + 2у – 5 = 0 (АС) трикутникаАВСі кут при вершиніВ, що дорівнює 45 градусів. Знайти рівняння висоти, опущеної з вершиниА.

17. Дано дві вершини трикутника А(–3; 3),В(5; –1) і точку перетину його висотР(4; 3). Знайти рівняння сторін трикутника.

18. Скласти рівняння бісектрис кутів між прямими 7х – у = 19 і 2х + у = 5.

19. Скласти рівняння бісектриси кута АтрикутникаАВСз вершинами: А(1; 1),В(10; 13),С(13; 6).

20. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку А(5; 1) і утворюють із прямою 2х+у = 4 кут 45 градусів.

21. При якому значенні параметра Р прямі х + 7у – 8 = 0, 7х – 2у – 5 = 0, Рх + Ру – 8 = 0 перетинаються в одній точці?

22. Точки А(1; 2) іС(3; 6) – протилежні вершини квадрата. Скласти рівняння його сторін.

23. Показати, що трикутник із сторонами, заданими рівняннями x + 3y++1 = 0, 3х+у+ 1 = 0 іх – у = 10, рівнобедрений. Знайти кут при його вершині.

24. Дано вершини паралелограма: А(0; 0), В(1; –3), С(7; –1). Знайти кут між його діагоналями і показати, що паралелограм є прямокутником.

25. Довести, що трикутник із вершинами: А(1; 1),В(2;),С(3; 1) є рівностороннім і знайти його площу.

26. Дві вершини квадрата створені перетином прямої 4х+3у = 12 з осями координат. Знайти координати двох інших його вершин.

27. Скласти рівняння тих прямих, що проходять через точку М(2; 7) і створюють кут 45 градусів із прямоюАВ, деА(–1; 7),В(8; –2).

28. На осі абсцис знайти точку, відстань від якої до прямої 8х+15у+10 = 0 дорівнює 1.

29. Дано середини сторін трикутника М(–1; –1),N(1; 9) іР(9; 1).Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

30. Дано рівняння двох висот трикутника у = 2х,у+3х+5 = 0 і одну з його вершинА(8; 1). Скласти рівняння сторін трикутника.

31. У трикутнику АВСдано вершиниА(10; 1),В(2; 9) і середину сторониАСточкуD(4; –1). Знайти точку перетину медіан трикутника.

32. Дано рівняння двох сторін паралелограма 3х – у – 4 = 0, х – 5у+8 = 0і точкуМ(6, 0) перетину його діагоналей. Знайти координати вершин паралелограма.

33. У трикутнику АВС дано рівняння висоти АН: 3х – у+12 = 0 і медіаниАМ: 4х3у+16 = 0 та середину сторониАВточкуD(2; 3). Скласти рівняння сторін трикутника.

34. Дано рівняння висоти 3х – у+6 = 0 і медіани 4х – 3у+3 = 0 трикутника й одну з його вершинА(9; 3). Скласти рівняння сторін трикутника.

35. У рівнобедреному трикутнику АВСдано рівняння основиАВ:х – 3у – 5 = 0, вершинуС(–3; 4) і кутВСА, що дорівнює 90 градусів. Знайти координати вершинА,Ві рівняння медіани, яка виходить із вершиниА.

36. У трикутнику АВСдано рівняння медіаниАМ: 7х – у+12 = 0, рівняння висотиАР: у – х = 0 та точкуD(6; –2), яка лежить на продовженні сторониВС. Довжина медіани дорівнює половині довжини сторониВС. Довести, що трикутникАВС є прямокутній, і що кутМАРдорівнює різниці гострих кутів трикутника.

37. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо A(3;1) іB(7; 3)його вершини, аM(4; 2)точка перетину висот.

38. У прямокутному трикутнику АВС(кутА– прямий) дано рівняння сторониАВ:х – 3у = 0, висотиАР х = уі точкуD(8, 0), що лежить на продовженні сторониВС. Знайти радіус описаного кола.

39. Довести, що прямі, які з’єднують основи висот трикутника АВСА(–7; –5),В(5; 1),С(–3; 7), утворюють трикутник, в якому ці висоти є бісектрисами.

40. У прямокутному трикутнику АВС(кутА– прямий) дано рівняння сторониАВу+х+2 = 0, висотиАР х+3у+2 = 0 і вершинуС(6; 8). Знайти відстань між центрами вписаного й описаного кіл.

41. У трикутнику АВСА(–4; 3),В(4; –3),С(–2; 9). Знайти кут між медіаною й висотою, проведеними з вершиниА.

42. У прямокутнику ABCDзадано вершини:A(0; 0),B(8; –4),C(10; 0). Довести, що бісектриси внутрішніх кутів прямокутника утворюють квадрат.

43. У квадраті ABCDзадано вершиниА(–3; –3) іС(5; 7), точкаМлежить на продовженні сторониАВ, причомуАМ/ВМ = 3. Знайти кутDMC.

44. У квадраті ABCDзадано вершиниА(–1; –4) іС(3; 8). ТочкиD₁,A₁,B₁,C₁– середини сторінАВ,ВС,CD,DA. Довести, що при перетині відрізківАА₁,ВВ₁,СС₁,DD₁утворюється квадрат, і знайти відношення сторони квадрата доАА₁.

45. Довести, що прямі, які з’єднують середини сторін чотирикутника, ABCDA(–10; –1),B(4; –5),C(12; 1),D(–2; 3), утворюють паралелограм.

46. У трапеції ABCDзадано вершини:А(–5; –3),В(11; 1),С(3; 5),D(–5; 3). Довести, що пряма, яка з’єднує середини основ трапеції, проходить через точку перетину її діагоналей.

47. Дано вершини А(–3; –2),В(4; –1),С(1; 3) трапеціїABCD (AD║CB), діагоналі трапеції перпендикулярні. Довести, що сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату суми її основ.

48. У трикутнику АВСзадано вершини:А(–4; –6),В(6; –4),С(–2; 10). Знайти центри вписаного й описаного кіл.

49. У трикутнику АВСзадано вершини:А(1; 2),В(11; 4),С(4; 13). Довести, що він рівнобедрений, знайти кутАВС.

50. У трикутнику АВСзадано вершини:А(0; 0),В(10; 2),С(2; 10). Знайти точкуМ, симетричну точці перетину його медіан відносно сторониАВ.