4.7. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярній системі координат

Якщо полюс О полярної системи координат збігається з фокусомF параболи (еліпса, гіперболи), полярна вісь перпендикулярна до директрисиD (директрис) і напрямлена так, що не перетинає директрисуD (однобічну директрису D), то рівняння параболи (еліпса, гілки гіперболи, відповідної фокусуF) має вигляд

(56)

де р – відстань від фокуса до директриси (відповідної директриси);

 – ексцентриситет відповідної лінії другого порядку.

Якщо полюс полярної системи збігається з центром еліпса (гіперболи), а полярна вісь перпендикулярна до директрис, то рівняння еліпса (гіперболи) матиме вигляд

(57)

4.8. Конічні перерізи

Еліпс, гіперболу, параболу можна одержати як лінії перетину прямого кругового конуса з площиною (рис. 33). Тому їх часто називають конічними перерізами.

Рис. 33. Конічні перерізи

Питання для самоперевірки

1. Яка лінія називається кривою другого порядку? Скільки типів кривих другого порядку існує? Як визначається тип кривої за ексцентриситетом?

2. Намалювати два еліпси, задані рівняннями 16x² + 9y² = 144 і 9x² + 16y² = 144. Знайти їхні фокуси, ексцентриситети й директриси.

3. Намалювати дві гіперболи, задані рівняннями 16x² 9y² = 144 і16x² + 9y² = 144. Знайти їхні фокуси, ексцентриситети, директриси й асимптоти.

4. Намалювати параболи y² = 2x, y² = –2x, x² = 2y,x² = –2y. Знайти їхні фокуси й директриси.

5. Яка система координат називається канонічною?

6. Довести твердження: еліпс є геометричне місце точок на площині, сума відстаней яких до двох фіксованих точок площини є величиною сталою.

7. Довести твердження: гіпербола є геометричним місцем точок на площині, модуль різниці відстаней яких до двох фіксованих точок площини є величиною сталою.

Задачі для розв’язування

1. Знайти геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох даних точок F₁(–3; 0) та F₂(3; 0) є величиною сталою, яка дорівнює 10.

2. Знайти геометричне місце точок, для яких відношення відстаней до даної точки F(–4; 0) і даної прямої 4х + 25 = 0 дорівнює 4/5.

3. Знайти геометричне місце точок, які розміщені від точки A(3; 0) удвічі ближче, ніж від прямоїх = 12.

4. Скласти рівняння кривої, сума квадратів відстаней від кожної точки якої до точок М₁(–3; 0) таM₂(3; 0) дорівнює 50.

5. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, знаючи, що:

1. його півосі дорівнюють 5 та 2;

2. його велика вісь дорівнює 10, а відстань між фокусами 2с= 8;

3. його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами 2с= 10;

4. відстань між фокусами 2с = 6 та ексцентриситет = 3/5;

5. його велика вісь дорівнює 20, а ексцентриситет = 3/5.

6. Знайти геометричне місце точок, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок F₁(–5; 0) і F₂(5; 0) є величиною сталою, яка дорівнює 6.

7. Вивести рівняння геометричного місця точок, для яких відношення відстаней до даної точки F(–5; 0) і даної прямої 5х + 16 = 0 дорівнює 5/4.

8. Вивести рівняння геометричного місця точок, для яких відстань від точки F(0; 6) у півтора рази більша за відстань від прямоїу = 8/3.

9. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точки М(2; 0) та від колах² + 4х + у² = 0.

10. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо:

1. відстань між фокусами 2с = 6, ексцентриситет= 3/2;

2. рівняння асимптот y= ± 4x/3 та відстань між фокусами 2с = 20;

4. відстань між директрисами дорівнює та відстань між фокусами 2с = 26;

3. ексцентриситет = 3/2 та відстань між директрисами дорівнює 8/3.

11. Дано гіперболу Знайти:

1. координати фокусів;

2. ексцентриситет;

3. написати рівняння асимптот і директрис;

4. скласти рівняння спряженої гіперболи та обчислити її ексцентриситет.

12. Дано гіперболу 16x²– 9у²= 144. Знайти півосі а таb, фокуси,ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.

13. Знайти геометричне місце точок, для яких відстань до даної точки F(3; 0) дорівнює відстані до даної прямоїх + 3 = 0.

14. Скласти рівняння геометричного місця точок, відстані яких до даного кола (х – 5)²+у² = 9 і даної прямоїх + 2 = 0 рівні між собою.

15. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до осі Ох і проходять через точку (3; 4).

16. Знайти геометричне місце точок, для кожної з яких відстані від осі Ох та від точки F(2; 2) рівні.

17. Визначити параметр pта розташування відносно координатних осей таких парабол: 1)у² = 6х; 2)х² = 5y; 3)у²= – 4х; 4)х² =– у.

18. Скласти рівняння параболи, вершина якої міститься у початку координат, знаючи, що:

1. парабола розташована симетрично відносно осі Охі проходить через точку A(9; 6);

2. парабола розташована симетрично відносно осі Оуі проходить через точку С(1; 1).