Українська академія банківської справи

Національного банку України

Кафедра вищої математики та інформатики

Вища математика для економістів Аналітична геометрія на площині

Методичні вказівки та завдання

для самостійної роботи

Для студентів 1 курсу економічних спеціальностей

усіх форм навчання

Суми

УАБС НБУ

2006

УДК 512.64(073)

В55

Рекомендовано до видання методичною радою обліково-фінансового факультету Української академії банківської справи Національного банку України, протокол № 9 від 30.05.2006.

Розглянуто та схвалено на засіданні кафедри вищої математики та інформатики, протокол № 8 від 24.05.2006.

Укладачі:

кандидат фізико-математичних наук, доцент

В.М. Долгіх;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Сумського державного університету

О.М. Назаренко

Рецензент

кандидат фізико-математичних наук, доцент

К.В. Ніколаєва

Відповідальний за випуск

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко

В55 Вища математика для економістів. Аналітична геометрія на площині: Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи / Уклад.: в.М. Долгіх, о.М. Назаренко.  Суми: уабс нбу, 2006.  44 с.

Методичні вказівки містять необхідний довідковий матеріал, приклади розв’язання типових завдань, питання для самоперевірки, задачі для розв’язування, а також завдання для самостійної роботи.

Призначені для студентів 1 курсу економічних спеціальностей всіх форм навчання.

УДК 512.64(073)

 Українська академія банківської справи Національного банку України, 2006

ЗМІСТ

ЗМІСТ 3

ВСТУП 4

1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ 5

1.1. Декартова прямокутна система координат 5

1.2. Полярна система координат 6

1.3. Перетворення системи координат 7

2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ 7

3. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ 11

3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння прямої 11

3.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору 12

3.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки 12

3.4. Рівняння прямої у відрізках на осях 12

3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 13

3.6. Кут між двома прямими 13

3.7. Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих 14

3.8. Нормальне рівняння прямої 15

3.9. Відстань від точки до прямої 15

Питання для самоперевірки 19

Задачі для розв’язування 20

4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ 21

4.1. Основні поняття 21

4.2. Деякі задачі, що приводять до кривих другого порядку 22

4.3. Криві другого порядку. Узагальнення 24

4.4. Еліпс 25

4.5. Гіпербола 27

4.6. Парабола 29

4.7. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярній системі координат 31

4.8. Конічні перерізи 31

Питання для самоперевірки 32

Задачі для розв’язування 33

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ 34

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 42

ВСТУП

Аналітична геометрія вивчає властивості геометричних об’єктів: точок, ліній, поверхонь, фігур і т.д. методами алгебри, задаючи ці об’єкти рівняннями. В основі аналітичної геометрії лежить метод координат, запропонований французьким математиком Рене Декартом (1596-1650). Згідно з методом координат положення кожної точки на площині відносно заданої системи координат визначається за допомогою двох чисел координат точки. Лінію на площині можна розглядати як множину точок, що задовольняють певним умовам, які записуються у вигляді рівняння, яке зв’язує координати точок лінії.

В аналітичній геометрії розв’язуються дві основні задачі:

1. скласти рівняння лінії, якщо відомі її геометричні властивості;

2. дослідити форму й властивості лінії, якщо відоме її рівняння.

Нижче розглядаються лінії на площині, задані рівняннями в декартовій формі, параметрично, а також у полярних координатах. Докладно розглянуті алгебраїчні лінії першого та другого порядків, які широко застосовуються при дослідженні багатьох економічних процесів.

Мета вивчення розділу “Аналітична геометрія на площині” полягає в тому, щоб навчити студентів складати та оперувати з рівняннями ліній, застосовувати їх для розв’язування задач геометрії та економіки.

Знання, здобуті студентами під час вивчення даного розділу, широко застосовуються в розділах математики “Диференціальне та інтегральне числення”, “Функції багатьох змінних”, а також у курсах: “Дослідження операцій”, “Математичне програмування”, “Економетрія”, “Макроекономіка”, “Мікроекономіка” та ін.

У результаті вивчення розділу “Аналітична геометрія на площині” студенти повинні

знати:

• означення рівняння лінії на площині в декартових та полярних координатах;

• означення алгебраїчних ліній першого та другого порядків;

• основні рівняння прямої на площині;

• умови паралельності та перпендикулярності прямих;

• означення та основні властивості алгебраїчних ліній другого порядку (еліпса, гіперболи, параболи);

уміти:

• записувати рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку паралельно або перпендикулярно до заданого вектора;

• записувати рівняння прямої на площині, яка проходить через дві задані точки;

• записувати рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку із заданим кутовим коефіцієнтом;

• перевіряти умови паралельності й перпендикулярності двох прямих;

• знаходити кут між двома прямими;

• перетворювати рівняння прямої з одної форми на будь-яку іншу;

• знаходити відстань від заданої точки до прямої;

• записувати рівняння лінії другого порядку за заданою її властивістю;

• будувати криву у декартових прямокутних та полярних координатах.