2. Модификация Краута – Дулитла

Если учесть некоторые возможности клавишных вычислительных машин, то можно составить схему вычислений, позволяющую ещё больше сократить записи промежуточных результатов по сравнению с компактной схемой Гаусса.

Порядок заполнения таблицы, прямой ход:

1. Записываем коэффициенты системы a_ij для i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5 в разделе I (табл.3).

2. Суммируем коэффициенты по каждой строке и результаты заносим в столбец в качестве a_i6 (i=1,2,3,4).

3. При i=2,3,4 находим числа m_i1= a_i1 / a₁₁ и записываем их в разделе II.

4. При j=2,3,4,5,6 вычисляем коэффициенты a по формуле a= a_2j ­– m₂₁а_1j и записываем их в разделе III.

5. Контроль: сумма не должна отличаться отa более чем на единицу последнего разряда.

6. При i=3,4 находим числа т_i2 по формуле т_i2= (a_i2– m_i1a₁₂)/ a и заносим в раздел IV.

7. При j=3,4,5,6 вычисляем коэффициенты a по формуле

a= a_3j – m₃₁a_1j – m₃₂ a и записываем в раздел V.

8. Находим число m₄₃=(a₄₃ – m₄₁а₁₃ – m₄₂a)/ a и записываем его в раздел VI.

9. При j=4,5,6 находим коэффициенты a по формуле a= a_4j – m₄₁a_1j – m₄₂a – m₄₃a и записываем в раздел VII.

10. Контроль: сравниваем сумму a­ + a с числом a.

Обратный ход осуществляется аналогично компактной схеме Гаусса. Находим неизвестные x₄, x₃, x₂, x₁ по формулам: ax₄=a, ax₃+ax₄= a, ax₂+ ax₃+ ax₄= a, a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄= a₁₅. Вычисления по этим формулам ведутся без промежуточных за­писей. Результаты записываются в разделе VIII таблицы.

Таблица 3

Схема Краута – Дулитла

	ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	= ai6
I	a11 a21 a31 a41	a12 a22 a32 a42	a13 a23 a33 a43	a14 a24 a34 a44	a15 a25 a35 a45	a16 = a1j a26 = a2j a36 = a3j a46 = a4j
II	m21 m31 m41
III		a	a	a	a	a
IV		m32 m42
V			a	a	a	a
VI			m43
VII				a	a	a
VIII	1	1	1	1	x4 x3 x2 x1

Количество арифметических операций в приведенной схеме и в схеме компактного метода Гаусса одинаково, поскольку операции выполняются те же самые, хотя и в другом порядке, но записи промежуточных вычислений значительно сокращаются. Последнее обстоятельство имеет большое значение при работе с клавишными вычислительными машинами.

Решим предыдущую систему с помощью схемы Краута – Дулитла систему уравнений, результаты вычислений занесем в таблицу (табл.4).

Таблица 4

	ai1	ai2	ai3	ai4	ai5		1
I	2	-3,5	2,7	-8,2	0,9	-6,1
	1	2,8	3,6	2,4	1,2	11
	1	2,5	-3,8	-2,6	14	11,1
	5	-6	4,8	2,1	10	15,9
II	0,5
	0,5
	2,5
III		4,55	2,25	6,5	0,75	14,05	14,05
IV		0,934066
		0,604396
V			-7,2516483	-4,5714285	12,84945	1,0263	1,0263
VI			0,4564327
VII				20,757978	1,431793	22,189	22,189
VIII				1	0,068976
			1		-1,815417
		1			0,964032
	1				4,870726