Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Курганский государственный университет

Кафедра математического анализа

Метод гаусса решения систем линейных уравнений и его модификации

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Численные методы для студентов направлений (специальностей) 010100 Математика, 050100 Педагогическое образование (050101, 050202)

Курган 2014

Кафедра: «Математического анализа»

Дисциплина: «Численные методы»

010100 Математика,

050100 Педагогическое образование (050101, 050202)

Составили: канд. пед. наук, доц. Т.Н. Михащенко (теоретическая часть,

варианты заданий, общая редакция);

студент Лобков В.Ю. (примеры расчета, набор текста).

Введение

Известно, что почти 75% всех расчётных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений, так как математические модели тех или иных явлений или процессов или сразу строятся как линейные, или сводятся к ним. Поэтому не трудно переоценить роль, которую играет выбор эффективного способа решения системы линейных уравнений. Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ­ – многими пакетами прикладных программ, позволяющих решать различные линейные системы.

Целью данного методического пособия является ознакомление студентов с различными модификациями самого распространенного метода решения систем линейных уравнений – метода Гаусса.

В пособии содержатся методические рекомендации по организации вычислений, задание для лабораторной работы по теме «Методы решения систем линейных уравнений», все схемы снабжены подробными инструкциями по их применению и алгоритмизированы для программирования на ЭВМ.

На выбор студенту предлагается несколько модификаций проведения и оформления вычислений: полная и компактная схемы Гаусса, модификация Краута-Дулитла, схема Гаусса с выбором главного элемента.

1. Компактная схема Гаусса

Компактная схема Гаусса дает экономный способ записи вычислений и полностью соответствует традиционному методу Гаусса, изучаемому в курсе алгебры.

Суть метода Гаусса….

Рассмотрим порядок составления схемы для системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. Все результаты вычислений будем записывать в одну таблицу (таблица 1).

Таблица 1

Компактная схема Гаусса

	i	ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	ai6
I	1	a11	a12	a13	a14	a15	a1j = a16
	2	a21	a22	a23	a24	a25	a2j = a26
	3	a31	a32	a33	a34	a35	a3j = a36
	4	a41	a42	a43	a44	a45	a4j = a46
		1	b12	b13	b14	b15	a16 / a11= b16
II	2		a	a	a	a	a
	3		a	a	a	a	a
	4		a	a	a	a	a
			1	b	b	b	a/a=b
III	3			a	a	a	a
	4			a	a	a	a
				1	b	b	a/a=b
IV	4				a	a	a
V					1	x4
				1		x3
			1			x2
		1				x1