Свойства векторного произведения

1⁰ Векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или один из них равен нулю.

следует из определения модуля векторного произведения: .

Модуль равен нулю, если:

1) иливекторыколлинеарны.

2) или.

2⁰ , т.е. векторное произведение не коммутативно.

3⁰(сочетательный закон относительно числового множителя).

4⁰.(распределительный закон относительно суммы и произведения).

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть заданы векторы и.

Векторное произведение векторов, заданных координатами, равно определителю третьего порядка, первой строкой которого являются единичные векторы и, второй- координаты первого перемножаемого вектора, третьей – координаты второго вектора:

. (4.10)

. (4.11)

Практический способ вычисления векторного произведения

Записать векторы один под другим

и, вычёркивая последовательно столбцы одноимённых координат, получаем определители второго порядка, которые являются координатами векторного произведения. При вычислении второй координаты перед определителем изменить знак.

Составить выражение из координат:

. (4.12)

Для получения координат векторного произведения в выражении (4.12) поочередно вычеркивать столбцы.

Для получения первой координаты x вычеркнуть 1-й столбец:

Для получения y вычеркнуть второй столбец, перед оставшимся минором взять знак « - »:

.

Для z вычеркнуть 3-й столбец:

4.3 Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов, его геометрический смысл

Опр 4 Смешанным произведением векторов называется число, полученное в результате векторного произведения двух векторов, скалярно умноженного на третий.

Обозначается .(4.13)

Геометрический смысл его выражается теоремой.

Теорема. Смешанное произведение представляет собой число, абсолютная величина которого равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на составляющих, т.е.

. (4.14)

Подставляя эти значения в формулу (*), получим, что и требовалось доказать.

Свойства смешанного произведения

1⁰ Смешанное произведение равно нулю, если векторы - компланарны, один из них нулевой или какие-либо два из них коллинеарные.

2⁰ Можно ли переставлять местами сомножители в смешанном произведении?

Там, где произведение скалярное, там можно, а где векторное– нельзя.

;

;

; ;.

Если расположить векторы по координатным осям, то, делая круговой поворот их против часовой стрелки (рисунок 20), смешанное произведение не меняет знак.

.

Рис. 20

Если вращать векторы по ходу часовой стрелки, то смешанное произведение меняет знак на противоположный (рисунок 21).

.

Рис. 21

Смешанное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы заданы координатами , ,.

Тогда смешанное произведение их вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

. (4.15)